zz: Norm auf C^1([0,1])

17.11.2019, 08:43

LuciaSera

zz: Norm auf C^1([0,1])

Okay, also ich habe folgende 4 Aufgaben:

Sei $\begin{eqnarray*} X=C^1 ([0,1]) \end{eqnarray*}$ der lineare Raum der Funktionen $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \Rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , die stetig differenzierbar sind. Definieren die folgenden Abbildung eine Norm auf X?

1a)
$\begin{eqnarray*} ||f||_1 = \sup_{t \in [0,1]}|f(t)|+\sup_{t \in [0,1]} |f'(t)| \end{eqnarray*}$
1b)
$\begin{eqnarray*} ||f||_2 = \sup_{t \in [0,1]}(|f(t)|+|f'(t)|) \end{eqnarray*}$

1c)
$\begin{eqnarray*} ||f||_3 = \sup_{t \in [0,1]}|f(t)+f'(t)| \end{eqnarray*}$

Prüfe weiters, ob die Normen $\begin{eqnarray*} ||.||_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||.||_2 \end{eqnarray*}$ äquivalent sind.

Ich habe also bei 1a) angefangen die Normaxiome zu prüfen:

1a)
(N1) $\begin{eqnarray*} \sup_{t \in [0,1]}|f(t)|+\sup_{t \in [0,1]} |f'(t)| >= 0 \end{eqnarray*}$
Da wir uns den Betrag unseres Funktionswertes anschauen, gilt das. Wir sind also immer >= 0, also kann auch das Supremum nur $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein.

(N2) $\begin{eqnarray*} \sup_{t \in [0,1]}|f(t)|+\sup_{t \in [0,1]} |f'(t)| = 0 \Leftrightarrow f(t) = 0 \wedge f'(t) = 0 \end{eqnarray*}$
Meine Begründung wäre, dass das natürlich nur für die Nullfunktion gilt. Da wir immer $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sind, können wir nur dann $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$ sein, wenn $\begin{eqnarray*} f \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

(N3) $\begin{eqnarray*} ||\alpha*f||=\sup_{t \in [0,1]}|\alpha f(t)|+\sup_{t \in [0,1]} |\alpha f'(t)| = |\alpha|\sup_{t \in [0,1]}|f(t)|+|\alpha|\sup_{t \in [0,1]} |f'(t)|= |\alpha| (\sup_{t \in [0,1]}|f(t)|+\sup_{t \in [0,1]} |f'(t)|) = |\alpha|||f||_1 \end{eqnarray*}$

(N4) nun kommen wir zu dem Punkt wo ich nicht weiter weiß.
Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} ||f+g||_1 <= ||f||_1+||g||_1 \end{eqnarray*}$
Das heißt, zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} \sup_{t \in [0,1]}|f(t)+g(t)|+\sup_{t \in [0,1]} |f'(t)+g'(t)| <= (\sup_{t \in [0,1]}|f(t)|+\sup_{t \in [0,1]} |f'(t)|)+(\sup_{t \in [0,1]}|g(t)|+\sup_{t \in [0,1]} |g'(t)|) \end{eqnarray*}$
Nun gilt aber bereits für $\begin{eqnarray*} \sup_{t \in [0,1]}|f(t)+g(t)| = \sup_{t \in [0,1]}|f(t)|+\sup_{t \in [0,1]} |g(t)| \end{eqnarray*}$ oder nicht?

wie sollte ich hier jemals auf eine Ungleichung kommen? Bzw. wie kann ich mir das Supremum für die Ableitungen vorstellen?

Freue mich über jeden Hinweis. Hammer

18.11.2019, 09:23

klarsoweit

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RE: zz: Norm auf C^1([0,1])

Zitat:

Original von LuciaSera
Da wir immer $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sind, können wir nur dann $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$ sein, wenn $\begin{eqnarray*} f \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Das habe ich jetzt nicht verstanden.

Zitat:

Original von LuciaSera
Nun gilt aber bereits für $\begin{eqnarray*} \sup_{t \in [0,1]}|f(t)+g(t)| = \sup_{t \in [0,1]}|f(t)|+\sup_{t \in [0,1]} |g(t)| \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Was ist, wenn g(t) = -f(t) ist?

Zitat:

Original von LuciaSera
wie sollte ich hier jemals auf eine Ungleichung kommen? Bzw. wie kann ich mir das Supremum für die Ableitungen vorstellen?

Die Ableitung ist eine Funktion und davon wird das Supremum gesucht. Da braucht man sich nichts vorstellen. Aber wenn du magst, ist das quasi die größte Steigung bzw. das größe Gefälle.

Im wesentlichen benötigst du die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sup_{t \in [0,1]} |f(t)+g(t)| \leq \sup_{t \in [0,1]}|f(t)| + \sup_{t \in [0,1]} |g(t)| \end{eqnarray*}$ . Vielleicht wurde das schon gezeigt und du kannst das hier verwenden.

22.11.2019, 09:14

LuciaSera

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RE: zz: Norm auf C^1([0,1])
Da habe ich mich verschrieben. Da gehört natürlich $\begin{eqnarray*} f = 0 \end{eqnarray*}$ . Also wenn f die Nullfunktion ist.

Aaaah ja natürlich! Okay nun ist mir alles klar. Außerdem ist ja das Supremum eine obere Schranke, also kann ich mir die Ungleichung eigentlich auch relativ einfach herleiten... Ich stand da wohl ziemlich auf dem Schlauch.

Habe somit die Aufgabe 1a), 1b) und 1c) gelöst. Wobei 1c), keine Norm ist, weil man als Gegenbeispiel z. B. $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-x} \end{eqnarray*}$ anführen kann. Dann bekomme ich auch 0 aber diese Funktion ist natürlich keine Nullfunktion.

Somit bleibt nur mehr zu zeigen, dass die Normen $\begin{eqnarray*} ||f||_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||f||_2 \end{eqnarray*}$ äquivalent sind.
Das heißt ich muss folgendes zeigen:
$\begin{eqnarray*} \exists C,c>0 : c||f||_1 \sup_{t} \leq ||f||_2 \leq C||f||_1 \end{eqnarray*}$

Also die hintere Ungleichung ist ziemlich simpel:

$\begin{eqnarray*} ||f||_2 = \sup_{t} |f(t)|+|f'(t)| \leq \sup_{t} |f(t)| + \sup_{t} |f'(t)| \leq C (\sup_{t} |f(t)| + \sup_{t} |f'(t)|) \end{eqnarray*}$

Aber bei der ersten Ungleichung stehe ich an:

Ich habe folgendes versucht:
$\begin{eqnarray*} ||f||_1 &= \sup_{t}(|f(t)|+\sup |f'(t)|) = \sup_{t} |f(t)- f'(t)+ f'(t)|+\sup_{t} |f'(t)- f(t)+f(t)| &\leq \sup_{t} (|f(t)- f'(t)|+ |f'(t)|)+\sup_{t} (|f'(t)- f(t)|+|f(t)|) \leq &\leq\sup_{t} |f(t)- f'(t)|+ \sup_{t} |f'(t)|+\sup_{t} |f'(t)- f(t)|+ \sup_{t} |f(t)| = &= 2*\sup_{t} |f'(t)- f(t)| +\sup_{t} |f'(t)|+ \sup_{t} |f(t)| = &= \sup_{t} |f'(t)- f(t)| * (2+ \frac{\sup_{t} |f'(t)|+\sup_{t} |f(t)|}{\sup_{t} |f'(t)- f(t)|} = &= c_1 \sup_{t} |f'(t)- f(t)| \end{eqnarray*}$

kann ich nun folgendermaßen weiterargumentieren?

$\begin{eqnarray*} c_1 \sup_{t} |f'(t)- f(t)| \leq c_1 \sup_{t} (|f'(t)|+|-f(t)|) = c_1 \sup_{t} (|f'(t)|+|f(t)|) = c_1 ||f||_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ||f||_1 \leq c_1 ||f||_2 \Leftrightarrow \frac{1}{c_1} ||f||_1 <= ||f||_2 \Leftrightarrow c ||f||_1 \leq ||f||_2 \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich die Äquivalenz gezeigt. Stimmen die Schritte alle?

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