Abstand zweier Punkte mit Vektorrechnung

17.11.2019, 15:02

Schneeglanz

Abstand zweier Punkte mit Vektorrechnung

Meine Frage:
Gegeben ist das zweidimensionale Achsensystem, dass durch die Vektoren b und c aufgespannt wird. Die Länge des Vektors b beträgt 2,0 cm, die Länge des Vektors c beträgt 1 cm. Der Winkel zwischen b und c beträgt 110 °. In diesem System sind die Punkte P(0,5/1) und Q(4,5/8) gegeben. Welchen Abstand besitzen die Punkte?

Meine Ideen:
Hallo,

also in der Lösung ist der Abstand 8,64 cm angegeben. Ich weiß aber nicht, wie man darauf kommt. Eventuell über die Winkelformel indem man einsetzt?

17.11.2019, 16:06

mYthos

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Berechne zunächst die Einheitsvektoren im neuen System.
In der x-Richtung kannst du dazu den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{e_1} = \vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ annehmen, in der y-Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{e_2} = \vec c = \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist gesichert, dass diese beiden Einheitsvektoren die angegebenen Längen haben und miteinander den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi = 110° \end{eqnarray*}$ einschließen.

Nun stelle den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Summe seiner Komponenten $\begin{eqnarray*} 4 \cdot \vec{e_1} + 7 \cdot \vec{e_2} \end{eqnarray*}$ dar und berechne damit seine Länge (Betragsformel).

Edit: Unzutreffendes Vorzeichen bei $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ korrigiert!

mY+

17.11.2019, 16:07

Bürgi

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RE: Abstand zweier Punkte mit Vektorrechnung
Guten Tag,

um dir überhaupt einen Eindruck von der gegebenen Aufgabenstellung zu verschaffen ist eine Skizze sehr hilfreich:

[attach]50030[/attach]

Beachte: Es handelt sich um eine Skizze, bei der der Punkt P nicht korrekt eingezeichnet ist!

und tschüß Wink

17.11.2019, 18:07

klauss

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Zitat:

Original von mYthos
Berechne zunächst die Einheitsvektoren im neuen System.
In der x-Richtung kannst du dazu den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{e_1} = \vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ annehmen, in der y-Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{e_2} = \vec c = \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Damit ist gesichert, dass diese beiden Einheitsvektoren die angegebenen Längen haben und miteinander den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi = 110° \end{eqnarray*}$ einschließen.

Ist ein "Einheitsvektor" mit Länge 2 nicht ein sprachlich-definitorischer Widerspruch?

Wobei die Annahme bestimmter Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ gar nicht nötig ist, denn mit den angegebenen Daten läßt sich der Wert des Standardskalarprodukts $\begin{eqnarray*} \vec{b} \circ \vec{c} \end{eqnarray*}$ allgemein berechnen und zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} | \overrightarrow{PQ} |^{2} \end{eqnarray*}$ nutzen.

17.11.2019, 18:47

mYthos

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Zitat:

Original von klauss
...
Ist ein "Einheitsvektor" mit Länge 2 nicht ein sprachlich-definitorischer Widerspruch?
...

Nicht unbedingt.
Im neuen Koordinatensystem ist der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ als Einheitsvektor anzusehen. Auch wenn er 2 cm lang ist, muss er dennoch dort als Einheitsvektor (mit Betrag 1) in das neue System eingebracht werden (!).
Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ hat (definitionsgemäß) ebenfalls den Betrag 1 und ist zufällig 1 cm lang, daher ist hier nicht umzurechnen.
Mit diesen Annahmen kann jeder andere Vektor in diesem (schiefen) Koordinatensystem in Komponentenschreibweise als LK (Linearkombination) der so definierten Basisvektoren, die dann die Einheitsvektoren sind, dargestellt werden.

Die umgehende Rechnung mit dem Skalarprodukt ist ein etwas anderer - eleganter - Weg, aber gestaltet sich ähnlich. Die Ergebnisse sind natürlich gleich.
Auch dafür sind allerdings die o.g. Voraussetzungen zu treffen. Denn dann ist

$\begin{eqnarray*} | \overrightarrow{PQ} |^{2} = (4 \cdot \vec b + 7 \cdot \vec c)^2 = 16 \cdot \vec b^2 + 49 \cdot \vec c ^2 + 56 \cdot \vec b \cdot \vec c = 64 + 49 + 112 \cos \varphi = ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

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