Abschätzung einer L2-Norm / Verallgemeinerung Poincaré-Ungleichung

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Dommm3 Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung einer L2-Norm / Verallgemeinerung Poincaré-Ungleichung
Liebe Community,

ich habe folgendes mathematische Problem. Wir betrachten ein Gebiet mit glattem Rand . Nun habe ich eine Vermutung, zu der ich einen Beweis suche, nämlich dass sich die L2-Norm einer H1-Funktion abschätzen lässt gegen die H1-Seminorm + L2-Norm der Spur, genauer

wobei ich mit die Spur von f auf dem Rand bezeichne. Die Ungleichung ist also so eine Art Verallgemeinerung der Poincaré-Ungleichung, die man hier als Folgerung bekommen würde. Ich bin mir sicher, dass eine Ungleichung dieser Form schon irgendwo bewiesen wurde, finde es aber leider nicht. Anschaulich ergibt die Ungleichung meiner Meinung nach sehr viel Sinn: Wenn ich die Randwerte kenne und der Gradient im Gebiet nicht zu groß wird, kann auch die L2-Norm im inneren nicht übermäßig groß werden.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Viele Grüße
Dominik
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