Beweis: Für alle polynomiellen Funktionen f: D->IR gilt: f ist stetig.

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Beweis: Für alle polynomiellen Funktionen f: D->IR gilt: f ist stetig.
Hallo,

es sei f: D->IR eine polynomielle Folge.
Zu zeigen sei: f ist stetig.

Meine Vorgehensweise:

Es sei

eine konvergente Folge mit
beliebig.

Dann muss gelten:



Es sei



Man setze



Das ergibt


Anwendung der Summenregel (Gott sei Dank gibt's die):



Anwendung der Faktorregel:




Nach Voraussetzung ist ja aber


Und damit (in Kombination mit der Potenzregel):



Das ist ja aber genau das was wir haben wollen, denn:



Ist das legitim?


Liebe Grüße.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was du schreibst, ist "im Prinzip" richtig. Freude Woran es noch hapert, sind die korrekten Floskeln in mathematischen Beweisen. Lehrer

1. So heißt es am Anfang: "Dann muß gelten". Ich verstehe, wie du das meinst, die Formulierung ist jedoch hochgradig mißverständlich (man könnte das auch als eine Folgeaussage verstehen). Mein Vorschlag: "Dann ist zu zeigen."

2. Es ist nicht nötig, den Polynomgrad als Index beim Funktionsbezeichner mitzuführen. Du gibst dir einfach ein Polynom vom (formalen) Grad vor und nennst es . Alles andere ist hier verwirrend.

3. Auch "Man setze" ist nicht korrekt. Hier wird nichts festgesetzt, sondern die Umrechnung eines Terms begonnen. Du könntest zum Beispiel "Wir beginnen die Rechnung" oder flapsig "Und los geht's!" oder etwas Ähnliches schreiben.

4. Summen-, Faktor- und Potenzregel bei Grenzwerten sind mir kein Begriff. Aber sei's drum! Wenn ihr das so genannt habt, soll es recht sein.

5. Die umgeformten Terme sind durch ein Gleichheitszeichen zu verbinden. Kommentare kann man in einer Spalte daneben anbringen. Aber vielleicht war das hier nur ein Website-Formatierungsproblem.

Ich hätte den Beweis anders geführt. Es funktioniert allerdings nur, wenn ihr schon hattet, daß die Stetigkeit von Funktionen bei Anwendung der Grundrechenarten erhalten bleibt. Dann könnte man sagen: Die konstanten Funktion sind stetig, die Identität ist ebenfalls stetig (das ist offensichtlich oder gegebenenfalls leicht zu zeigen). Da die Stetigkeit beim Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren von Funktionen erhalten bleibt, alle Polynomfunktionen aber nur durch diese Rechenarten aus den obigen Grundfunktionen entstehen, sind alle Polynomfunktionen stetig.
 
 
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