Lipschitz-Stetigkeit zeigen

17.11.2019, 19:53

MathLip

Lipschitz-Stetigkeit zeigen

Meine Frage:
Hallo,
ich will zeigen , dass die Funktion $\begin{eqnarray*} \begin{cases} x sin(\frac{1}{x}) & \text{ } x\neq 0 \\ 0 & \text{ if } x= 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} I=\left[0,\frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ Lipschitz stetig ist.

Meine Ideen:
Ich habe es über die normale Lipschitz Definition versucht, aber ohne Erfolg.
Ich nehme an, ich müsste den Radius betrachten $\begin{eqnarray*} \frac{\left | f(x) - f(y) \right |}{\left | x - y \right |} \end{eqnarray*}$
und zeigen können, dass das keine Obere Grenze hat oder ?

Danke im voraus.

18.11.2019, 13:00

Huggy

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RE: Lipschitz Stetigkeit zeigen
[

Zitat:

Original von MathLip
ich will zeigen , dass die Funktion $\begin{eqnarray*} \begin{cases} x sin(\frac{1}{x}) & \text{ } x\neq 0 \\ 0 & \text{ if } x= 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} I=\left[0,\frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ Lipschitz stetig ist.

Möchtest du das wirklich zeigen?

Zitat:

Ich nehme an, ich müsste den Radius betrachten $\begin{eqnarray*} \frac{\left | f(x) - f(y) \right |}{\left | x - y \right |} \end{eqnarray*}$
und zeigen können, dass das keine Obere Grenze hat oder ?

Denn das würde ja bedeuten, dass die Funktion nicht Lipschitz-stetig ist. Und das ist sie auch tatsächlich nicht.

18.11.2019, 19:01

MathLip

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RE: Lipschitz Stetigkeit zeigen
Hallo Huggy,

Anbei die exakte Aufgabe. [attach]50034[/attach]
Daher ist mir nur das mit der Lipschitz Stetigkeit eingefallen. Aber Anscheind ist die Funktion doch nicht Lipschitz stetig. Ich komm leider nicht weiter verwirrt

19.11.2019, 08:15

Huggy

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RE: Lipschitz Stetigkeit zeigen
Lipschitzstetigkeit ist schon der richtige Gedanke. Nur wird die nicht im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1/2] \end{eqnarray*}$ gebraucht, sondern in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ . Und das ist gegeben. Zwar ist $\begin{eqnarray*} F(y) \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} [0, \infty) \end{eqnarray*}$ Lipschitzstetig, aber für jedes $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [c, \infty) \end{eqnarray*}$ . Also gibt es Umgebungen von $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ , in denen $\begin{eqnarray*} F(y) \end{eqnarray*}$ Lipschitzstetig ist. Damit hat man schon einmal die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung durch den Anfangspunkt. Jetzt musst du dir noch anschauen, für welchen Bereich von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ diese eindeutige Lösung nach Picard-Lindelöf mindestens existiert.

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