Folgenkonvergenz bei Umordnung

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17.11.2019, 20:55	Matheneuling_001	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenkonvergenz bei Umordnung Hallo das Thema ist heute Konvergenzverhalten von Folgen. Eine Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ ist gegeben, dann beschreibt die abbildung $\begin{eqnarray} \phi: \mathbb N --> \mathbb N \end{eqnarray}$ die umordnung der folge. Wenn die abbildung bijektiv ist, so konvergieren die Folge und deren umordnung gegen den gleichen grenzwert. Meine Frage: Ist die abbildung hingegen nur injektiv, so ist doch der grenzwert der umordnung von dem der folge verschieden. Denn es ist nicht klar, welche folgenglieder überhaupt abgebildet werden und wie?! Seht ihr das ähnlich. Danke für eure Hilfe.
17.11.2019, 21:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So einfach kann das nicht sein. Wenn die Folge a_n divergiert hat sie keinen Grenzwert, der dem eventuell vorhandenen Grenzwert der umgeordneten Folge gleich sein könnte. Eine Umordnung ist immer eine Bijektion der natürlichen Zahlen.
18.11.2019, 06:10	Matheneuling_001	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, ich soll folgendes zeigen: $\begin{eqnarray} \phi: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \end{eqnarray}$ ist bijektiv und $\begin{eqnarray} (b_{n}) \end{eqnarray}$ eine Folge, dann heißt $\begin{eqnarray} (b_{\sigma(n)n} \end{eqnarray}$ eine Umordnung von $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist, dass die Umordnung der Folge nicht das Konvergenzverhalten ändert. Dies habe ich auch geschafft. Jetzt stellt sich aber noch die Frage, was geschieht, wenn die Abbildung nicht bijektiv ist, sondern (a) lediglich Injektiv und (b) lediglich surjektiv. Meine Überlegung zu (a) ist dann eben gewesen, dass Injektivität zwar fordert, dass ein Folgenglied $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ in den Zielbereich also die Umordnung $\begin{eqnarray} b_{\sigma(n)} \end{eqnarray}$ abgebildet wird, aber keine Aussage darüber trifft, ob $\begin{eqnarray} b_{\sigma(n)} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b_{\sigma(n-1)} \end{eqnarray}$ getroffen wird. Vermutlich ist dies aber auch gar nicht notwendig.
18.11.2019, 07:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Teilfolge einer gegen a konvergenten Folge konvergiert gegen a.
18.11.2019, 10:06	Matheneuling_001	Auf diesen Beitrag antworten »
Das lemma ist bekannt, aber wie schreibe ich das auf. Woher weiß ich, dass b_n eine Teilfolge ist, wenn die abbildung nur injektiv ist. Das ist ja bestimmt sehr einfach, wenn man es einmal verstanden hat...
18.11.2019, 10:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} b_n=a_{\phi (n)} \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ eine umgeordnete Teilfolge von $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \phi:\mathbb N\to \mathbb N,n\mapsto \phi(n) \end{eqnarray}$ injektiv ist. Die Folge $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ enthält dann nämlich abzählbar unendlich viele verschiedene Glieder der Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ .
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18.11.2019, 19:55	Matheneuling_001	Auf diesen Beitrag antworten »
Es tut mir leid, aber ich verstehe nicht weshalb eine Teilfolge mit der injektivität in Verbindung gebracht gegen den grenzwert der ursprünglichen folge konvergieren soll. Bei mir macht es nicht klick. Soll die Teilfolge nur implizieren, dass mindestens ein folgenglied weniger existiert, und dies die injektivität indirekt darstellt?
18.11.2019, 20:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Injektivität sorgt für eine (eventuell umgeordnete) Teilfolge, diese strebt gegen denselben Grenzwert wie die Folge. Nicht injektiv kann z.B. alles auf das erste Glied der Folge abbilden, dann ist der Grenzwert sicher ein anderer.
19.11.2019, 08:31	Matheneuling_001	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön Elvis. Dann bedeutet dies, dass lediglich Subjektivität zu anderem grenzwert führt. Aber weshalb fordert man dann bijektivität für die umordnung? Bleibt dabei die Reihenfolge erhalten und bei injektivität nicht?
19.11.2019, 08:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst lesen was ich schreibe. Gegeben eine konvergente Folge. Umordnung heißt bijektiv, also gleicher Grenzwert. Injektiv heißt umgeordnete Teilfolge, also gleicher Grenzwert. Über surjektiv habe ich noch nichts gesagt. Wenn eine surjektive Abbildung alle ungeraden Zahlen auf 1 abbildet, und wenn der Grenzwert von a1 verschieden ist, divergiert die neue Folge. Man fordert nichts von einer Umordnung. Man untersucht das Verhalten von Folgen bei Umordnungen. Ebenso interessant ist es, das Verhalten von divergenten Folgen bei Umordnungen zu untersuchen. Noch wichtiger wird die Untersuchung bei Umordnung von Reihen.

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