Gruppen und Untergruppen

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HilfeMathe22 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen und Untergruppen
Meine Frage:
Könnte mir jemand erklären mit welchem Operator ich in der nachfolgenden Aufgabe arbeiten muss?

Meine Ideen:
Ich habe nämlich Schwierigkeiten aus der Aufgabenstellung zu entnehmen, welche Operatoren verwenden werden müssen.

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Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer Multiplikation lässt man das Multiplikationszeichen weg. Man erkennt das auch daran, dass yy als Quadrat und das Inverse von z als z hoch -1 geschrieben wird.
HilfeMathe22 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön smile
HilfeMathe22 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich versuche gerade das Untergruppenkriterium zu beweisen und hänge beim Kriterium U1 fest.

(U1) Für alle a,b \in U gilt a·b \in U

Ich habe für a und b eingesetzt und ein wenig umgeformt, jedoch weiß ich nicht wirklich ob mir das überhaupt irgendetwas gebracht hat unglücklich


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Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Den Bruchstrich kannst du sofort vergessen, das ist das schlimmste, was man einer Gruppe antun kann. Auch sonst ist nichts richtig. Bei einer Multiplikation entstehen höhere Potenzen aber niemals Vielfache wie 2x=x+x. Zusätzlich Elemente einschmuggeln ist auch nichts wert. Bitte noch einmal von vorn und ausschließlich mit den erlaubten Gruppenoperationen Multiplikation und Inversenbildung rechnen.

Außerdem ist alles viel einfacher als man denkt, weil die Multiplikation assoziativ ist:
HilfeMathe22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Dankeschön smile
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem Untergruppenkriterium muss auch das Inverse jeden Elements aus U in U liegen. Das geht praktisch genau so einfach, wenn man weiß, wie die Inversion auf ein Produkt wirkt. U nichtleer isr nun fast trivial.
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Könnt ihr mich bitte erhellen, was ihr da macht?
Klar ist, dass für eine Untergruppe U jedes Produkt .
Im anderen Fall ist aber U doch nur eine nichtleere Teilmenge von G und es ist nicht gesagt, dass man jedes Element von U in der Form schreibn kann verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, auf der rechten Seite der Aufgabe (a) ist das gesagt, und es soll gezeigt werden, dass dann U eine Untergruppe von G ist. Danke, dass du jetzt die andere Richtung als trivial entlarvt hast. Das macht die gesamte Aufgabe (a) ziemlich trivial, also für Anfänger geeignet.
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Bitte um Entschuldigung, falls ich hier zu forsch etwas verraten habe.

Allerdings sehe ich noch immer nicht, was mit gezeigt ist.
Wenn , dann sind , so weit so klar. Aus folgt auch, dass man das Produkt in der gewünschten Form schreiben kann. Aber wie folgt daraus, dass es in U ist? Das könnte man doch allenfalls folgern, wenn wäre. Oder wie geht das sonst?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Frage, sie hat auch mit der 1 aus G zu tun und deswegen kann ich vielleicht zeigen, dass 1 in U liegt und somit U nichtleer ist.
, genügt das, oder noch nicht, mir kommen leise Zweifel...morgen ist auch noch ein Tag.
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ok, dachte schon, ich übersehe estwas offensichtliches.
U ist als nicht leer vorausgesetzt. Ich habe in der Tat gezeigt, dass die 1 in U ist und damit ist man praktisch fertig.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Einwand war berechtigt und hilfreich. Der richtige Weg ist folgender.
Mit x liegen alle ganzzahligen Potenzen von x in U (leicht zu zeigen) , also auch 1. Für x, y=1,z ist daher stets xz^-1 in U, und das ist ein Untergruppenkriterium.
Gute Nacht
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@HilfeMathe22
Konntest du unserer Diskussion folgen, und hast du das Ergebnis unserer Anstrengungen verstanden? Wenn nicht, was kann ich noch für dich tun?
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