Verteilungsfunktion&Dichte

18.11.2019, 16:18

Math 123

Verteilungsfunktion&Dichte

Meine Frage:
Sei X eine standardexponentialverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und eine Dichte des Flächeninhalts eines Quadrates mit Seitenlänge X!

Meine Ideen:
Kann mir da jemand helfen?

18.11.2019, 16:50

HAL 9000

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Dieser Flächeninhalt ist offenbar die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y=X^2 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt für $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ via passender Umformung der Ereignisungleichung

$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(X^2\leq y) \stackrel{(1)}{=} P\left( X\leq \sqrt{y}\right) = F_X(\sqrt{y}) \end{eqnarray*}$

und nach Kettenregel dann

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \frac{\dd}{\dd y} F_Y(y) = F_X'(\sqrt{y})\cdot \frac{\dd}{\dd y}\sqrt{y} = f_X(\sqrt{y})\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \end{eqnarray*}$

Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ und Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ deiner standardexponentialverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kannst du selbst heraussuchen.

An Stelle $\begin{eqnarray*} \stackrel{(1)}{=} \end{eqnarray*}$ würde zunächst eigentlich erstmal $\begin{eqnarray*} P(|X|\leq \sqrt{y}) \end{eqnarray*}$ folgen, aber das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine positive Zufallsgröße ist, entfällt die Betrachtung auf der negativen Achse, da dort wahrscheinlichkeitsmäßig nix außer Wert 0 passiert.

18.11.2019, 23:14

Math 123

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Wie genau komme ich denn dann auf die Dichte oder die Verteilungsfunktion? Da blicke ich noch nicht ganz durch.
Wenn ich eines hab, weiß ich wie ich auf das andere komme, da die Dichte ja die Ableitung der Verteilungsfunktion ist. Jedoch muss ich erstmal auf eines der beiden kommen...

19.11.2019, 07:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Math 123
Wie genau komme ich denn dann auf die Dichte oder die Verteilungsfunktion?

Wie du auf Dichte und Verteilungsfunktion der Standardexponentialverteilung "kommst" ? Nicht dein Ernst, oder? unglücklich

Keine Vorlesung besucht? Kein Lehrbuch in Griffweite? Und auch kein Internetzugang, z.B. zur Wikipedia? Letzteres bezweifle ich, aus offensichtlichen Gründen...

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