Lösungsmenge eines LGS geometrisch

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Eudoxus Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmenge eines LGS geometrisch
Meine Frage:
Schauen wir uns mal 2 Gleichungen mit zwei Variablen an.
Die Lösung dieses LGS ist geometrisch gesehen der Schnittpunkt von zwei Geraden in einer Ebene.
Wie kann ich innerhalb dieses geometrischen Anschauung vernünftig erklären, dass die Addition der beiden Gleichungen (welche ja eine neue Gerade im Raum erzeugt), die Lösungsmenge nicht verändert?


Meine Ideen:
Wenn ich mir 2 Gleichungen als 2 Waagen vorstelle, ist es anschaulich klar, dass Waage 1 unverändert bleibt, wenn ich jew. beide Seiten von Waage 2 auf ihr ablege.

Irgendwie kriege ich das aber nicht in meine geometrische Anschauung überführt...
Vielleicht geht das auch nicht wirklich?
Ich suche einen Satz wie:
"Die Addition von 2 Gleichungen ist geometrisch gesehen ..., also bleibt der Schnittpunkt derselbe."

Aber vielleicht geht nur:
"Die Addition von 2 Gleichungen ändert deren Lösungsmenge nicht, also bleibt in der geometrischen Anschauung der Schnittpunkt derselbe."
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei nicht identische und widerspruchsfreie lineare Gleichungen haben eine eindeutige Lösung.
Die Addition dieser zwei Gleichungen ergibt eine weitere - abhängige - Gleichung, die durch diese Lösung befriedigt wird.

In der Geometrie entspricht dies dem Schnittpunkt zweier nicht paralleler und nicht identischer Geraden.
Die Gesamtheit aller Geraden, die durch einen (Schnitt-)Punkt gehen, bezeichnet man als Geradenbüschel (Geradenschar).
Die durch die Addition der Gleichungen bestimmte Gerade ist ebenfalls Element dieser Geradenschar und geht durch deren Schnittpunkt.

[attach]50071[/attach]

mY+
 
 
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Super, 3 Tage war die Frage unbeantwortet, und dann glaubt man, man könne sich in Ruhe damit beschäftigen, da kommt einem eine Antwort zuvor ... Big Laugh

Die Idee, eine solche Frage zu stellen, ist durchaus clever, und zunächst hatte ich dafür keine Antwort parat, da sie mir so bisher nicht untergekommen ist. Daher habe ich mich nochmal drangesetzt und eine - wie ich meine verblüffende und anschauliche - Erklärung gefunden, die sich als Ergänzung zu mYthos eignet.

Nehmen wir als Beispiel die Gleichungen
I) 2x + y = 3
II) x - 3y = 7
Beide Zeilen addiert liefert die neue Gleichung
3x - 2y = 10

Nun hätte man die Geradengleichungen I und II ja auch zunächst in die expliziten Funktionsgleichungen umstellen und dann addieren können:
I) y = 3 - 2x
II) y = (x - 7)/3
Jetzt beide Zeilen addiert liefert
2y = (3 - 2x) + (x - 7)/3
oder
III)

Diese Gerade III nimmt also an jeder Stelle x als Funktionswert y genau das arithmetische Mittel der Funktionswerte der Geraden I und II an. Und da letztere sich nur in 1 Punkt schneiden, wird nur dieser eine Schnittpunkt bei der Mittelwertbildung auf sich selbst abgebildet.

Genauso hätte man die Geradengleichungen I und II zunächst nach x auflösen und dann addieren können:
I) x = (3 - y)/2
II) x = 7 + 3y
Jetzt beide Zeilen addiert liefert
2x = (3 - y)/2 + (7 + 3y)
oder
IV)

Bei dieser Geraden IV wird also jeder Funktionswert y aus dem arithmetischen Mittel der x-Werte der Geraden I und II erzeugt. Auch hier wird wieder nur der Schnittpunkt beider Geraden bei der Mittelwertbildung auf sich selbst abgebildet.

Dasselbe Spielchen kann man nun mit den beiden Geraden III und IV wiederholen und aus diesen wiederum 2 weitere Geraden V und VI kreieren, die in x- bzw. y-Richtung eine Mittelwertbildung bezüglich der Geraden III und IV darstellen und sich selbstverständlich auch im selben Punkt schneiden.
Oder man stellt III und IV zur impliziten Form um, addiert und erhält irgendeine andere Gerade mit demselben Schnittpunkt.
Usw. usw. beliebig fortgesetzt - man erhält also ständig neue Geraden derselben Schar.

Wenn Du also einen prägnanten Satz suchst, entspräche der Anschauung wohl am besten so etwas wie:
"Die Addition von 2 Gleichungen ist geometrisch gesehen eine Mittelwertbildung in x- oder y-Richtung zweier Geraden, also bleibt der Schnittpunkt derselbe."
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