Cauchy-Folge

19.11.2019, 20:11

EpsilonNy

Cauchy-Folge

Hi,

ich sitze gerade an einem Beweis für die Cauchy-Folge.
Für eine rekursive Folge $\begin{eqnarray*} (x_{n})_{n} \end{eqnarray*}$ ist zu zeigen, dass diese eine Cauchy-Folge ist.

Gegeben sind die Folgenglieder:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=1,x_{n+1}=1+\frac{3}{4 \cdot x_{n}}, n\geq1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists n_{0}\in \mathbb{N} \forall m,n, \in \mathbb{N}_{\geq n_{0}} : |x_{m}-x_{n}|\leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Setze ein:

$\begin{eqnarray*} |x_{m}-x_{n}|=|(1+\frac{3}{4 \cdot x_{n}})-(1+\frac{3}{4 \cdot x_{n-1}})| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\frac{3( x_{n-1}- x_n)} {4 \cdot x_{n} x_{n-1} }| \leq |\frac{-3} {4 }\cdot ( x_{n}- x_{n-1})| \leq q^{n-n_{0}}\cdot |x_{2}-x_{1}| \end{eqnarray*}$

Wie geht's nun aber weiter? Könntet ihr mir einen Hinweis geben?

Herzlichen Dank für eure Unterstützung.

Gott

20.11.2019, 11:55

PWM

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RE: Cauchy-Folge
Hallo,

Du brauchst eine Abschätzung für $\begin{eqnarray*} |x_m-x_n| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ . Dazu wendest Du die Dreiecksungleichung an auf

$\begin{eqnarray*} |x_m-x_n| = | x_m-x_{m-1} + x_{m-1} - x_{m-2} \ldots + x_{n+1}-x_n| \end{eqnarray*}$ .

Jeden der Summanden $\begin{eqnarray*} |x_{i+1}-x_i| \end{eqnarray*}$ schätzt Du mit Deinem Ergebnis ab. Dann verwendest Du noch die Infos über geometrische Summen und Reihen.

Gruß pwm

20.11.2019, 12:03

klarsoweit

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RE: Cauchy-Folge

Zitat:

Original von EpsilonNy
Setze ein:

$\begin{eqnarray*} |x_{m}-x_{n}|=|(1+\frac{3}{4 \cdot x_{n}})-(1+\frac{3}{4 \cdot x_{n-1}})| \end{eqnarray*}$

Gemeint ist hier wohl aber: $\begin{eqnarray*} |x_{n+1} - x_n| = |(1+\frac{3}{4 \cdot x_n}) - (1+\frac{3}{4 \cdot x_{n-1}})| \end{eqnarray*}$

20.11.2019, 19:02

EpsilonNy

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RE: Cauchy-Folge
Guten Abend zusammen,

ob es korrekt ist, kann ich nicht mit Sicherheit sagen, ich vermute einmal "nein", aber da vertraue ich eurer Expertise und euren guten Lösungshinweisen.

$\begin{eqnarray*} |x_{n+k}-x_{n}|=|x_{n+k}-x_{n+k-1}+x_{n+k-1}-x_{n+k-2}+...+x_{n+1}-x_{n}| \leq |x_{n+k}-x_{n+k-1}|+|x_{n+k-1}-x_{n+k-2}|+...+|x_{n+1}-x_{n}| \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich einsetzen und den Faktor $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ vor den Betrag ziehen und erst zum Schluss dann die tatsächlichen Werte einsetzen, wenn die Logik dahinter passt:

$\begin{eqnarray*} \leq (\alpha^{k-1}+\alpha^{k-2}+\alpha^{k-3}+...+\alpha^{1}+1)\cdot |x_{n+1}-x_{n}| \end{eqnarray*}$

Mit geometrischer Summenformel:
$\begin{eqnarray*} =\frac{1-\alpha^{k}}{1-\alpha} \cdot |x_{n+1}-x_{n}| \leq \frac{\alpha^n}{1- \alpha}\cdot |x_{2}-x_{1}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{-3}{4})^{n} \cdot \frac{|(1+\frac{3}{4 \cdot 1})-1|}{1-(-\frac{3}{4})}=\frac{|\frac{3}{4}|}{\frac{7}{4}} \cdot (\frac{3}{4})^{n} =\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{3^n}{4^n}<\epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt ist gezeigt, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist und damit konvergiert. Fraglich ist nun, gegen welchen Limes sie konvergiert.

Kann ich jetzt einfach normal die Limes-Rechenregeln anwenden und schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_{n}=\lim_{n \to \infty }1+\frac{3}{4\cdot x_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{4\cdot x_{n}+3}{4\cdot x_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{4 x_{n} \cdot(1+\frac{3}{4x_{n}})}{4\cdot x_{n}}=1 \end{eqnarray*}$

Hier sind bestimmt so einige Fehler enthalten.
Zu prüfen ist auch das Monotonieverhalten (also monoton steigend und fallend) wie prüft man dieses Kriterium denn ab?

Herzlichen Dank

20.11.2019, 19:56

Leopold

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Zwischenruf.

Ich habe einmal ein bißchen herumgespielt und die folgende explizite Darstellung gefunden:

$\begin{align*} x_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{n+1}+(-1)^n}{3^n+(-1)^{n+1}} \end{align*}$

Es ist mir bewußt, daß es nicht deine Aufgabe ist, damit die Aufgabe zu lösen. Ich fand's nur witzig.

20.11.2019, 20:09

EpsilonNy

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@Leopold: Danke schön. aber willst du mir damit sagen, dass die Folge keinen Grenzwert hat? Wenn dem so ist, kannst du einmal schauen wo meine Fehler sind. Das ist meine erste Aufgabe, die ich mit Cauchy-Konvergenzkriterium zeigen soll

20.11.2019, 20:25

Leopold

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Doch, die Folge hat einen Grenzwert. Und du kannst ihn unmittelbar aus der Rekursionsgleichung $\begin{align*} x_{n+1} = 1 + \frac{3}{4x_n} \end{align*}$ ermitteln. Laß in dieser $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ gehen, und du bekommst eine Gleichung für den Grenzwert. Die Gleichung hat nur eine positive Lösung, und die ist es.
Allerdings steht die Rechnung unter dem Vorbehalt, daß die Folge konvergiert. Denn durch Lösen der Gleichung zeigst du nur: Wenn ein Grenzwert existiert, dann ist es jener. Wie die Berechnung der ersten Glieder vermuten läßt, liegt die Teilfolge mit geraden Indizes oberhalb und die mit ungeraden Indizes unterhalb des Grenzwerts. Die Folge tanzt also um den Grenzwert herum.

20.11.2019, 20:45

EpsilonNy

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du meinst 0,5, aber wieso komme ich nicht darauf, wenn ich die Limesrechenregeln anwende und ausklammere?

beim Cauchy-Kriterium weiß ich jetzt auch nicht, ob es korrekt ist bzw. wo meine Fehler sind. Hast du nicht zufällig eine Idee?

20.11.2019, 21:17

Leopold

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Bist du eigentlich schon auf den Gedanken gekommen, einmal ein paar Folgenglieder auszurechnen? Das wäre doch das erste, was man in Angriff nimmt. Und dann würdest du auch sehen, daß 1/2 schlicht nicht der Grenzwert sein kann.

20.11.2019, 21:21

EpsilonNy

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Ja, ich hab das gemacht und komme auf 1,5 als grenzwert.

Aber letztendlich steht der Existenzbeweis noch aus und die monotonie...

20.11.2019, 21:29

Leopold

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Zitat:

Original von EpsilonNy
Aber letztendlich steht der Existenzbeweis noch aus und die monotonie...

Wie kannst du von Monotonie sprechen, wenn du wirklich die Glieder berechnet hast? Im übrigen habe ich schon in meinem vorletzten Beitrag gesagt, daß die Glieder um den Grenzwert herumtanzen. Bitte lies die Beiträge der Helfer.

20.11.2019, 21:48

EpsilonNy

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Danke schön lieber Leopold, mir ging es nur um den Bezug zur Aufgabe. Monotonie liegt nicht vor, aber man zeigt dies doch nicht durch ein paar folgenglieder?

21.11.2019, 07:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von EpsilonNy
Monotonie liegt nicht vor, aber man zeigt dies doch nicht durch ein paar folgenglieder?

Wenn du Monotonie beweisen willst, dann genügt das nicht. Wenn du sie aber widerlegen willst, dann genügt die Angabe von ein paar Folgengliedern, wenn diese nämlich bereits die Monotonie verletzen (Gegenbeispiel!).

Eine weitere Möglichkeit neben der Cauchy-Konvergenz-Abschätzung sowie dem Nachweis der expliziten Folgendarstellung wäre die Abschätzung des Abstandes zum (zunächst) mutmaßlichen Grenzwert: Aus

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}-\frac{3}{2} = \frac{3}{4x_n}-\frac{1}{2} = \frac{3-2x_n}{4x_n} = -\frac{2}{4x_n} \left(x_n - \frac{3}{2}\right) \end{eqnarray*}$

folgt zusammen mit dem leicht erkennbaren $\begin{eqnarray*} x_n\geq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \left| x_{n+1}-\frac{3}{2}\right| = \frac{2}{4x_n} \left|x_n - \frac{3}{2}\right| \leq \frac{1}{2} \left|x_n - \frac{3}{2}\right| \end{eqnarray*}$ , und daraus $\begin{eqnarray*} \left| x_n-\frac{3}{2}\right| \leq \frac{1}{2^{n-1}} \left|x_1 - \frac{3}{2}\right| = \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

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