Grenzwert und Konvergenz

19.11.2019, 20:33

SM!LE

Grenzwert und Konvergenz

Guten Tag,

ich bin mir nicht ganz sicher wie bei folgender Aufgabe der Grenzwert bestimmt werden soll.

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ oder beweisen Sie deren Divergenz.

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}}=\frac{(-1)^n\cdot n^2}{2n^2+4} \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsansatz

Behauptung: $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n\cdot n^2}{2n^2+4}=(-1)^n\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{2n^2+4}=(-1)^n\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\frac{4}{n^2}}=(-1)^n\cdot\frac12 \end{eqnarray*}$

Ich bin mir unsicher wegen dem (-1)^n.
Ich vermute mal, dass ich das nicht einfach aus dem Limes herausnehmen kann oder?

Ich bin wie immer für jeden hilfreichen Tipp dankbar.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

19.11.2019, 21:18

Mulder

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RE: Grenzwert und Konvergenz

Zitat:

Original von SM!LE
Ich bin mir unsicher wegen dem (-1)^n.
Ich vermute mal, dass ich das nicht einfach aus dem Limes herausnehmen kann oder?

Nope! Ist ja von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängig. Und bringt dich auch nicht wirklich weiter, oder?

Tipp: Fallunterscheidung. Wie war das noch mit Grenzwerten und Häufungspunkten und so? Augenzwinkern

19.11.2019, 21:49

SM!LE

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Oh stimmt.

Also man betrachtet die Teilfolgen für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade. Stellt fest es gibt zwei Häufungspunkte und kann somit die Divergenz beweisen?

Ist das der richtige Weg ?

Vielen Dank schonmal für die Hilfe smile

19.11.2019, 22:12

Mulder

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Jap.

19.11.2019, 22:13

SM!LE

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Okay vielen vielen Dank.

Schönen Abend noch smile

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