Tensorvisualisierung

20.11.2019, 13:12	PIist3	Auf diesen Beitrag antworten »
Tensorvisualisierung Meine Frage: Ich möchte den Tensor S $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als 3D Körper visualisieren. Ein Tensor kann als Ellipsoid dargestellt werden wenn alle seine Eigenwerte größer gleich 0 sind. Zur Info: Bei dem Tensor handelt es sich um einen Krümmungsmatrix (auch bekannt als Shape-Operator oder Weingarten Matrix) in 3D für einen Punkt p auf einer Oberfläche. Ser Tensor hat die Eigenwerte 3,1,0 und die Eigenvektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Bedeutet dass die Krümmung der Oberfläche auf dem Punkt p in x-Richtung 3 und in y-Richtung 1 ist. Zudem ist die Flächennormale in p parallel zu z. Mir ist klar dass Krümmungsmatrizen eigentlich ein 2x2 Tensor sind aber ich benötige ihn in 3x3 darum hab ich einfach eine Zeile und eine Spalte zu $\begin{eqnarray} s = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hinzugefügt. Die Eigenvektoren von S und s sind gleich aber det(s)=3 und det(S) = 0. Ich habe den Tensor durch $\begin{eqnarray} S = QMQ^{-1} \end{eqnarray}$ gebaut. wobei M die Eigenwerte in der Diagonale und Q die Eigenvektoren in den Spalten enthält. Meine Ideen: So nun zu meiner Frage, Ich möchte die Krümmung entlang der Richtung $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ berechnen hierzu normiere ich v und multiplizere den Vektor dann mit S : $\begin{eqnarray} Sv = r = \begin{pmatrix} 2.12132034 \\ 0.70710678 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Die Länge von r = 2.36067977 Nach meiner Auffassung ist das falsch. Einerseits ist r nicht parallel zu v und zudem ist der Vektor viel zu groß. Berechnet dann den radius einer Ellipse (nicht Ellipsoid da der dritte Eigenvektor 0 ist) mit den Achsen a=3 und b=1 im Winkel 45° erhält man 1.34164079. Wenn man die Eigenvektoren mit dem Tensor multipliziert erhält man Vektoren, die parallel zu den Eigenvektoren sind und zudem die Länge der Eigenwerte haben. Was ist mein Fehler? Wie kann ich den Tensor als Ellipse visualiseren? Warum sind alle Vektoren ausser den Eigenvektoren falsch? Danke für eure Hilfe

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