Wert einer Summe

21.11.2019, 16:29

Rtf

Wert einer Summe

Meine Frage:
Frage ist auf dem Bild
Bitte um Hilfe
Habe keinen richtigen Ansatz gefunden
Danke schonmal

Meine Ideen:
...

21.11.2019, 16:48

klauss

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RE: Wert einer Summe

Zitat:

Original von Rtf
Habe keinen richtigen Ansatz gefunden

Ein Ansatz: Multipliziere das Binomquadrat innerhalb der Summe aus.

21.11.2019, 16:59

rtf

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RE: Wert einer Summe
dann steht da x(k)^2-2x(k)*X+X^2 ?

21.11.2019, 17:15

klauss

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RE: Wert einer Summe
Auf dem Blatt, dass Du sicher gerade vor Dir hast, sollte vor allem sauber in etwa stehen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \left(x_{k}^{2}-2x_{k}\overline{x}+\overline{x}^{2} \right) \end{eqnarray*}$

Das teilst Du jetzt auf in 3 Summen.

21.11.2019, 17:22

rtf

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RE: Wert einer Summe
tut es Big Laugh

mit 3 summenzeichen?

21.11.2019, 17:29

rtf

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RE: Wert einer Summe
kann ich nicht mit geometrischer formel 2 davon umstellen?

21.11.2019, 17:29

klauss

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RE: Wert einer Summe
Mit 3 Summenzeichen.
Und dann guckst Du die gleich etwas genauer an und überlegst, wo man da im Hinblick auf das zu zeigende Ergebnis direkt noch etwas mehr umschreiben könnte.

21.11.2019, 17:38

rtf

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RE: Wert einer Summe
was stelle ich bei der 2. summe um?

21.11.2019, 17:43

klauss

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RE: Wert einer Summe
Keine Idee?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} 2x_{k}\overline{x} \end{eqnarray*}$
Faktoren, die nicht von k abhängen, können vor die Summe gezogen werden.
Das gilt übrigens auch für die 3. Summe.

21.11.2019, 17:49

rtf

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RE: Wert einer Summe
dann steht im 2. X(summe1->n) 2x(k) und im dritten X^2 ?

21.11.2019, 17:56

klauss

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RE: Wert einer Summe
Die 2 in der 2. Summe ist auch nicht von k abhängig ...
Und die 3. Summe ist nicht einfach verschwunden!
Es kommt auf jedes einzelne Zeichen an, wenn wir zum Ergebnis gelangen wollen. Daher müßtest Du jetzt Dein Zwischenergebnis hier unzweideutig in Latex einstellen.

21.11.2019, 18:04

rtf

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RE: Wert einer Summe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2 -2X\sum\limits_{k=1}^{n} x_k+X +X\sum\limits_{k=1}^{n} k \end{eqnarray*}$

21.11.2019, 18:12

rtf

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RE: Wert einer Summe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2 -2X\sum\limits_{k=1}^{n} x_k+X ^2\sum\limits_{k=1}^{n} k \end{eqnarray*}$

korrektur

21.11.2019, 18:18

klauss

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RE: Wert einer Summe
Nicht ganz.
Wenn man aus der 3. Summe $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ rauszieht, bleibt als Summe danach noch
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} 1 \end{eqnarray*}$ übrig. Was hat diese Summe für einen Wert?

Und: Vergleiche jetzt die 2. Summe (ohne die Vorfaktoren) mit dem arithmetischen Mittel aus der Aufgabe.

21.11.2019, 18:28

rtf

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RE: Wert einer Summe
Ohne die vorfaktoren hat es die gleiche Summe

21.11.2019, 18:39

klauss

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RE: Wert einer Summe
Ich muß jetzt Druck machen und benötige daher präzise Aussagen:

- Welchen Wert hat die 3. Summe, so wie ich sie in meinem letzten Beitrag konkret hingeschrieben habe?

- Wie verhält sich die 2. Summe (ohne Vorfaktoren) zu der Formel für das arithmetische Mittel aus der Angabe?

- Welchen Wert hat demnach die 2. Summe?

Es ist ja nicht mehr weit zum Ergebnis, aber bedenke, dass Dein Lehrer/Prof. sich auch nicht mit Antwortbröckchen zufriedengeben würde.

30.11.2019, 14:43

Ulrich Ruhnau

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RE: Wert einer Summe
Ist das so schwer?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (x_k-\bar{x})^2=\sum\limits_{k=1}^{n} (x_k^2-2x_k\bar x+\bar{x}^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (x_k-\bar{x})^2 = \sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2-2\bar x\sum\limits_{k=1}^{n} x_k +\sum\limits_{k=1}^{n} \bar{x}^2 \end{eqnarray*}$ Da nutzt man einfach $\begin{eqnarray*} n\bar x=\sum\limits_{k=1}^{n} x_k \end{eqnarray*}$ aus. Dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (x_k-\bar{x})^2=\left(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\right)-2\bar xn\bar x+n\bar x^2=\left(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\right)-n\bar x^2=\sum\limits_{k=1}^{n} (x_k^2-\bar{x}^2) \end{eqnarray*}$

Womit alles gezeigt ist. Aber noch einfacher sieht das ganze aus, wenn man den Querbalken zum Mitteln einsetzt.

$\begin{eqnarray*} \overline{(x-\bar x)^2}=\overline{x^2-2x\bar x+\bar x^2}=\overline{x^2}-2\bar x^2+\bar x^2=\overline{x^2}-\bar x^2=\overline{x^2-\bar x^2} \end{eqnarray*}$

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