Verschachtelte Folgen Konvergenzbeweis

21.11.2019, 19:48

Baumstamm

Verschachtelte Folgen Konvergenzbeweis

Meine Frage:
Seien a, b positive reelle Zahlen, sei n eine positive, natürliche Zahl. Seien (an) und (bn) Folgen definiert durch $\begin{eqnarray*} a_{n+1}= \sqrt{a_{n}b_{n}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_{n} +b_{n} \right) \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie dass die beiden Folgen konvergieren und den gleichen Grenzwert haben

Meine Ideen:
Ich habe hier für den Konvergenzbeweis zuerst an Monotonie und Beschränktheit gedacht und wollte das mit Induktion zeigen, aber da die Aufgabe sehr allgemein gehalten ist, habe ich nicht einmal wirklich die Induktionsverankerung hinbekommen bzw. es stand eben nicht eindeutig da: a n+1 > a n
Funktioniert das so überhaupt mit diesen verknüpften Folgen oder brauche ich da eine andere Herangehensweise?

21.11.2019, 21:07

HAL 9000

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Gibt es auch Anfangswerte, oder zumindest Informationen über die Anfangswerte, oder zumindest bei welchem Index $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Folgen anfangen???

Nicht, dass das sonderlich wichtig wäre, aber es erleichtert die Notation der Beweisführung.

22.11.2019, 14:05

Baumstamm

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Zitat:

Gibt es auch Anfangswerte, oder zumindest Informationen über die Anfangswerte, oder zumindest bei welchem Index n die Folgen anfangen???

Leider nicht wirklich mehr als ich schon geschrieben habe. a und b sind positiv und reel. Für n habe ich das tatsächlich unklar geschrieben: für n = 0 sind die Folgenwerte a und b und für n > 0 gelten die genannten Folgendefinitionen.

22.11.2019, 15:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Baumstamm
für n = 0 sind die Folgenwerte a und b

Also $\begin{eqnarray*} a_0=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0=b \end{eqnarray*}$ , das ist doch genau die Information die ich haben wollte. Insofern hast du deinem "Leider nicht wirklich mehr als ich schon geschrieben habe" unmittelbar selbst widersprochen. Finger1

Na egal, zum Inhalt:

1) Wegen AMGM gilt dann $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n \end{eqnarray*}$ zumindest für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

2) Außerdem sieht man damit dann sehr schnell $\begin{eqnarray*} a_n\leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ sowie auch $\begin{eqnarray*} b_{n+1}\leq b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

3) Damit ist $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ monoton wachsend und durch $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkt, und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ monoton fallend und nach unten durch $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ beschränkt. Ergo konvergieren beide.

4) Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} b_{n+1}-a_{n+1}\leq b_{n+1}-a_n = \frac{1}{2}\left(b_n-a_n\right) \end{eqnarray*}$ liefert unmittelbar $\begin{eqnarray*} b_n-a_n\leq \frac{1}{2^{n-1}}\left(b_1-a_1\right) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (b_n-a_n)=0 \end{eqnarray*}$ . Damit müssen die laut 3) existierenden beiden Grenzwerte gleich sein.

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