Reelles und komplexes Fundamentalsystem

21.11.2019, 23:08	Mimi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelles und komplexes Fundamentalsystem Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe hier eine Aufgabe die ich gelöst habe aber weiß nicht, ob das richtig ist. -Eigenwerte: $\begin{eqnarray} \lambda _{1/2}-1\pm i\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . -Eigenvektor: $\begin{eqnarray} v_{1}=\begin{pmatrix} \frac{-1-\sqrt{2}i }{3} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline v_{1}=v_{2}= \begin{pmatrix} \frac{-1+\sqrt{2}i }{3} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . -Komplexes Fundamentalsystem: $\begin{eqnarray} Y_{\mathbb C }=\left[v_{1}e^{\lambda _{1}x },\overline v_{1}e^{\overline\lambda _{1}x } \right]=\left[\begin{pmatrix} \frac{-1-i\sqrt{2} }{3} \\ 1 \end{pmatrix}e^{i\sqrt{2}x },\begin{pmatrix} \frac{-1+i\sqrt{2} }{3} \\ 1 \end{pmatrix} e^{-i\sqrt{2}x } \right]=..= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} -\frac{1}{3}cos(\sqrt{2}x)-\frac{1}{3}isin(\sqrt{2}x)-\frac{\sqrt{2} }{3} icos(\sqrt{2}x)+\frac{\sqrt{2} }{3} sin(\sqrt{2}x) & -\frac{1}{3}cos(\sqrt{2}x)+\frac{1}{3}isin(\sqrt{2}x)+\frac{\sqrt{2} }{3} icos(\sqrt{2}x)+\frac{\sqrt{2} }{3} sin(\sqrt{2}x) \\ cos(\sqrt{2}x )+isin(\sqrt{2}x) & cos(\sqrt{2}x )-isin(\sqrt{2}x) \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} Re(Y_{\mathbb C } )= \begin{vmatrix} -\frac{1}{3}cos(\sqrt{2}x)+\frac{\sqrt{2} }{3} sin(\sqrt{2}x) & -\frac{1}{3}cos(\sqrt{2}x)+\frac{\sqrt{2} }{3} sin(\sqrt{2}x) \\ cos(\sqrt{2}x ) & cos(\sqrt{2}x ) \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Im(Y_{\mathbb C } )= \begin{vmatrix} -\frac{1}{3}sin(\sqrt{2}x)-\frac{\sqrt{2} }{3} cos(\sqrt{2}x) & \frac{1}{3}sin(\sqrt{2}x)+\frac{\sqrt{2} }{3} cos(\sqrt{2}x) \\ sin(\sqrt{2}x ) & -sin(\sqrt{2}x ) \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y_{\mathbb R } = \begin{vmatrix} -\frac{1}{3}cos(\sqrt{2}x)+\frac{\sqrt{2} }{3} sin(\sqrt{2}x) & \frac{1}{3}sin(\sqrt{2}x)-\frac{\sqrt{2} }{3} cos(\sqrt{2}x) \\ cos(\sqrt{2}x ) & sin(\sqrt{2}x ) \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y=Y_{R}\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hab ich das richtig gemacht?

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