Extremstellen berechnen

22.11.2019, 15:44

massevektor

Extremstellen berechnen

Meine Frage:
Hallo Leute,
wir sollen eine Funktion auf ihre Extremstellen untersuchen. Als Hinweis haben wir gegeben, dass der Definitionsbereich wie folgt lautet:

$\begin{eqnarray*} D=\left\{(x,y)^{T}\in \mathbb R ^{2}|x^{2}+y^{2}\leq 1 \right\} \end{eqnarray*}$

Die Funktion f lautet mit $\begin{eqnarray*} f: D->\mathbb R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=4*x^{2}+3*x*y \end{eqnarray*}$ .

Als Hinweis haben wir gegeben, dass man zunächst den Rand und dann das Innere des Definitionsbereiches auf Extremstellen untersuchen soll.

Ich frage mich nun wie die Extremstellen des Definitionsbereiches mit den Extremstellen der Funktion f zusammenhängen.

Meine Ideen:
Wenn ich zunächst den Rand auf Extremstellen untersuchen will, forme ich mir meinen Definitionsbereich so um, dass ich auf

$\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$ komme.
Wenn ich jetzt ganz normal die Extremstellen herausfinde komme ich auf
$\begin{eqnarray*} x=\left(0,\pm 1\right) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich es richtig verstanden habe, sollten im Inneren keine Extremstellen liegen, da es sich hier ja um einen Einheitskreis mit dem Radius r=1 handelt.

Liege ich da richtig?

Sind die Extremstellen des Definitionsbereiches auch die Extremstellen der Funktion f?

22.11.2019, 16:47

Elvis

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Die Extremstellen einer Funktion sind genau die Stellen des Definitionsbereichs, an denen die Funktion Extremwerte annimmt. Ja, was sonst.

23.11.2019, 10:20

Huggy

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RE: Extremstellen berechnen
Um es noch mal ausführlicher zu sagen:

Zitat:

Original von massevektor
Als Hinweis haben wir gegeben, dass man zunächst den Rand und dann das Innere des Definitionsbereiches auf Extremstellen untersuchen soll.

Ich frage mich nun wie die Extremstellen des Definitionsbereiches mit den Extremstellen der Funktion f zusammenhängen.

Man soll nicht die Extremstellen des Definitionsbereichs suchen, sondern die Extremstellen der Funktion auf ihrem Definitionsbereich und dazu soll man die Funktion separat auf dem Rand des Definitionsbereichs und im Inneren des Definitionsbereichs betrachten.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$

Das musst du in die Funktion einsetzen, um die Extremstellen auf dem Rand des Definitionsbereichs zu finden. Es verbleibt dadurch auf dem Rand des Definitionsbereichs nur eine Funktion mit einer Variablen. Alternativ könnte man auch mit Polarkoordinaten arbeiten.

Zitat:

Wenn ich es richtig verstanden habe, sollten im Inneren keine Extremstellen liegen, da es sich hier ja um einen Einheitskreis mit dem Radius r=1 handelt.

Selbstverständlich kann die Funktion auch im Inneren ihres Definitionsbereichs Extremstellen haben.

24.11.2019, 14:58

massevektor1

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RE: Extremstellen berechnen
Okay Huggy das einsetzen vom Rand kann ich nachvollziehen, aber wie kommt man auf die Extremstellen im Innern des Definitionsbereiches?
Also für:
$\begin{eqnarray*} y<\sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$

24.11.2019, 16:57

Huggy

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RE: Extremstellen berechnen
Na, das solltet ihr doch in der Vorlesung durchgenommen haben. Zunächst bestimmt man die sogenannten kritischen Stellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Das sind die Stellen, an denen der Gradient von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Null wird:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

Man löst dieses Gleichungssystem und betrachtet nur die kritischen Stellen, die im Inneren des Definitionsbereichs liegen. Mit der Hessematrix kann man dann prüfen, ob eine kritische Stelle tatsächlich ein Extrempunkt ist. Allerdings gibt sie nicht immer eine Antwort auf diese Frage.

25.11.2019, 14:34

massevektor2

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RE: Extremstellen berechnen
Stimmt das haben wir in der Vorlesung behandelt.
Nun nochmal zum Rand des Definitionsbereiches. Wenn ich
in meine Funktion f(x,y) einsetze komme ich auf die Extrempunkte
$\begin{eqnarray*} P1=(-3*\sqrt{1/10},9/2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P2=(\sqrt{1/10},-1,2) \end{eqnarray*}$

Wenn ich allerdings die Punkte mit der Lagrange Methode löse, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} P1=(\pm \sqrt{1/10},\mp 3*\sqrt{1/10}) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} P2=(\pm 3*\sqrt{1/10},\pm \sqrt{1/10}) \end{eqnarray*}$

Wie kann es sein, dass ich dort auf unterschiedliche Ergebnisse komme? Ich habe beides im Computeralgebra lösen lassen also sollten die Berechnungen richtig sein.

25.11.2019, 16:25

Huggy

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RE: Extremstellen berechnen
Keine Ahnung, was du da beim Einsetzen gemacht hast. Ich komme mit Einsetzen auf dieselben 4 Lösungen, die du mit der Lagrangemethode bekommen hast. Man muss ja

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt {1-x^2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y=-\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

einsetzen. Jedes mal bekommt man 2 Lösungen. Also hat man insgesamt 4 Lösungen wie bei der Lagrangemethode. Und wie du auf die y-Werte $\begin{eqnarray*} 9/2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -1/2 \end{eqnarray*}$ kommst, ist mir ein völliges Rätsel.

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