Reihenkonvergenz

22.11.2019, 23:59

Marie000

Reihenkonvergenz

Meine Frage:
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \end{eqnarray*}$ sei konvergent, aber nicht absolut konvergent. Somit enthält die Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n} \end{eqnarray*}$ unendlich viele nichtnegative und unendlich viele negative Glieder.
Es sei $\begin{eqnarray*} (\alpha_{k}) \end{eqnarray*}$ die Folge der nichtnegativen und $\begin{eqnarray*} \beta_{k} \end{eqnarray*}$ die Folge der negativen Glieder. Zeigen Sie, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{infty} \alpha_{k} = \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{infty} \beta_{k} = - \infty \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Widerspruchsbeweis

23.11.2019, 01:13

Marie000

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RE: Reihenkonvergenz
Kann mir bitte jemand helfen?

23.11.2019, 10:08

HAL 9000

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RE: Reihenkonvergenz

Zitat:

Original von Marie000
Meine Ideen:
Widerspruchsbeweis

Eine passende Idee, dann fang doch einfach mal damit an!

Gehe davon aus, dass die Behauptung falsch ist, dann muss einer der drei Fälle

1) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \beta_k \end{eqnarray*}$ konvergent
2) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k = \infty \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \beta_k \end{eqnarray*}$ konvergent
3) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k \end{eqnarray*}$ konvergent, $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \beta_k = - \infty \end{eqnarray*}$

eintreten. 1) kann es nicht sein, denn dann wäre die Ausgangsreihe absolut konvergent. Jetzt versuche auch 2) und 3) zum Widerspruch zu bringen.

23.11.2019, 18:14

Marie000

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RE: Reihenkonvergenz
Danke! An sich ist der Beweis ja ganz anschaulich: Fall 2 ergibt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{k} = \infty \end{eqnarray*}$ -> WIDERSPRUCH! und Fall 3, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{k} = - \infty \end{eqnarray*}$ -> WIDERSPRUCH!

Mir fällt das Aufschreiben schwer, ist der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{k} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \alpha_{k} + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \beta_{k} \end{eqnarray*}$

problematisch? Ja, oder? Denn dann hätten wir ja $\begin{eqnarray*} \infty + (-\infty) \end{eqnarray*}$ dort stehen... Ich weiß aber nicht, wie ich meinen Beweis sonst formalisieren soll. Wie würdest du es machen?

24.11.2019, 17:19

Marie000

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RE: Reihenkonvergenz
HAL, bist du noch da? Könntest du mir bitte, bitte noch meine letzte Frage beantworten?

24.11.2019, 20:21

HAL 9000

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RE: Reihenkonvergenz
Ja klar ist das problematisch, sobald eine der beiden Reihen rechts divergent ist: Denn nur wenn beide konvergieren, ist diese Gleichung zulässig.

Andernfalls solltest du über die Partialsummen der Reihe argumentieren. Das ist hier zugegeben nicht ganz einfach, da nicht vorgegeben ist, in welcher Reihung die $\begin{eqnarray*} \alpha_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta_k \end{eqnarray*}$ aufeinander folgen.

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