Frage zur Charakteristik

23.11.2019, 11:41	Asau	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zur Charakteristik Meine Frage: Hallo! Ich tue mir mit dem Begriff der Ring-Charakteristik schwer und versuche diese anhand des Frobeniushomomorphimus zu verstehen: Bei Wikipedia steht beim Beweis der Ringhomomorphismus-Eigenschaft: [attach]50072[/attach] Meine Ideen: Wir haben Charakteristik definiert als das $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathrm{ker}\phi = m\mathbb Z \end{eqnarray}$ des Ringhomomophimus $\begin{eqnarray} \phi :\mathbb Z \to R \end{eqnarray}$ . Bei Wikipedia steht auch, dass $\begin{eqnarray} \mathrm{char}R \end{eqnarray}$ das kleinste $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ ist mit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{m} 1=0 \end{eqnarray}$ (was ich deutlich greifbarer finde). Wieso verschwinden die Binomialkoeffizienten?
23.11.2019, 13:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Definition der Charakteristik mangelt daran, dass du den Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ erwähnst, aber nicht aufschreibst. Definition: Für einen Ring $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ist der Kern des Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray} \phi:\mathbb Z \to R, k \mapsto k\cdot 1 \end{eqnarray}$ nach dem Homomorphiesatz für Ringe ein Ideal von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring ist, ist $\begin{eqnarray} ker(\phi)=(m)=m\mathbb Z \end{eqnarray}$ ein Hauptideal, und der positive Erzeuger dieses Hauptideals heißt Charakteristik von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} ker(\phi)=(0) \end{eqnarray}$ hat der Ring die Charakteristik $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Folgerung: Es sei $\begin{eqnarray} char(R)>0 \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} m\cdot 1=0\Rightarrow (n\cdot 1=0\Leftrightarrow m\|n) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ die kleinste positive ganze Zahl, für die $\begin{eqnarray} m\cdot 1=\sum_{i=1}^m1=0 \end{eqnarray}$ gilt.
24.11.2019, 16:55	Asau	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah Hat etwas gedauert. Ich musste deine Antwort mehrfach mit Pausen dazwischen lesen, aber ich glaube, jetzt habe ich's Angewandt auf den Frobeniushomomorphismus bedeutet das dann doch: Die Summanden (Binomialkoeffizienz und so) in der Klammer werden von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ geteilt, sind also ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , und ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ werden auf $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ abgebildet, weil $\begin{eqnarray} \mathrm{ker}\phi = p\mathbb Z \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \mathrm{char}\phi =p \end{eqnarray}$ , nicht?
24.11.2019, 18:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist ein hübsches Anwendungsbeispiel, und sehr nützlich, weil die binomischen Formeln in Charakteristik p leichter zu merken sind als in Charakteristik 0.

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