Herleitung für unendliche Reihen

23.11.2019, 14:02

Ulrich Ruhnau

Herleitung für unendliche Reihen

Wenn ich mir eine Mathematische Formelsammung anschaue wie z.B. vom Autor Karl Rottmann, dann staune ich über solche Formeln wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x^2}+\frac{x^2}{1-x^4}+\frac{x^4}{1-x^8}+... \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x^2<1 \end{eqnarray*}$

Wie leitet man so etwas her? Kennt jemand ein schlaues Buch, indem so etwas steht? Oder gibt es vielleicht einen Internetlink, wo man die Herleitung einsehen könnte? Ich bin für gute Hinweise sehr dankbar.

23.11.2019, 14:27

IfindU

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RE: Herleitung für unendliche Reihen
Die Idee ist, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1 {1 - x } = \sum_{n=0}^\infty x^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x^2 < 1 \end{eqnarray*}$ . Mit der Aufteilung gerade/ungerade erhält man $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty x^n = \sum_{k=0}^\infty x^{2k} + \sum_{k=0}^\infty x^{2k+1} \end{eqnarray*}$ . Der erste Summand ist sofort eine geometrische Reihe. Nach dem Schreiben von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty x^{2k+1} = x\sum_{k=0}^\infty (x^2)^{k} \end{eqnarray*}$ kann man nun $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ in gerade/ungerade aufteilen und bekommt sofort eine geometrische Reihe und einen Term, den man etwas umschreiben muss.

Das einzige was mir gerade nicht gefällt ist, dass ich $\begin{eqnarray*} \frac 1 {1-x} = \frac 1 {1-x^2} + \frac { x}{1-x^4}+\ldots \end{eqnarray*}$ bekomme verwirrt

23.11.2019, 14:52

HAL 9000

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Ja, ist mir auch aufgefallen. Entweder repariert man die Behauptung so wie du, oder mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multipliziert zu

$\begin{eqnarray*} \frac{{\color{red}x}}{1-x} = \frac{{\color{red}x}}{1-x^2}+\frac{x^2}{1-x^4}+\frac{x^4}{1-x^8}+ \ldots \end{eqnarray*}$ .

Alternative Lösung: Mit $\begin{eqnarray*} f_n(x):= \frac{1-x^{2^n-1}}{1-x^{2^n}} \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} f_{n+1}(x) - f_n(x) = \frac{1-x^{2^{n+1}-1}}{1-x^{2^{n+1}}} - \frac{1-x^{2^n-1}}{1-x^{2^n}} = \frac{1-x}{x} \cdot \frac{x^{2^n}}{1-x^{2^{n+1}}} \end{eqnarray*}$

und somit per Teleskopsumme unter Beachtung von $\begin{eqnarray*} f_0(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^k \frac{x^{2^n}}{1-x^{2^{n+1}}} = \frac{x}{1-x} \sum_{n=0}^k \left( f_{n+1}(x) - f_n(x) \right) = \frac{x}{1-x}\cdot f_{k+1}(x) \end{eqnarray*}$ .

Offenbar gilt für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} f_{k+1}(x) = 1 \end{eqnarray*}$ , daher konvergiert diese Reihe und es gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2^n}}{1-x^{2^{n+1}}} = \frac{x}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

23.11.2019, 17:18

Ulrich Ruhnau

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Ich muß mich entschuldigen für das falsche Wiedergeben der Formel. Hal 9000 hat die Formel richtig repariert. Was aber ihre Herleitung anbelangt, frage ich zunächst mal, wieso $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{k} (f_{n+1}(x)-f_n(x)) =f_{k+1}(x) \end{eqnarray*}$ gelten soll. Außerdem ist meine Frage, wo man diese Herleitung nachlesen kann, noch nicht beantwortet.

23.11.2019, 20:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Was aber ihre Herleitung anbelangt, frage ich zunächst mal, wieso $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{k} (f_{n+1}(x)-f_n(x)) =f_{k+1}(x) \end{eqnarray*}$ gelten soll.

Informier dich doch mal, was "Teleskopsumme" bedeutet. Nicht, dass das nötig wäre (man kann es auch so verstehen, wenn man richtig drüber nachdenkt), aber es hilft vielleicht beim Verständnis.

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Außerdem ist meine Frage, wo man diese Herleitung nachlesen kann, noch nicht beantwortet.

Da sie auf meinem Mist gewachsen ist: Hier im Thread kannst du sie nachlesen. Wer sie sonst noch wo auch immer und wie auch immer hergeleitet hat, interessiert mich nicht sonderlich, da ich eine passable Lösung auch so schnell gefunden habe - da musst du schon selbst recherchieren.

Und was das Nichtbeantworten von Fragen betrifft, solltest du dich mal schön an die eigene Nase fassen.

24.11.2019, 00:08

Ulrich Ruhnau

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Viele Dank für die Erläuterungen! Inzwischen ist mir auch klar geworden, daß

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{k} (f_{n+1}(x)-f_n(x)) =f_{k+1}(x)-f_0(x) \end{eqnarray*}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray*} f_0(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Als ich vorher die Berechnung von HAL 9000 angeschaut habe, mußte ich mich erst mal an den Schreibtisch setzen um die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} f_{n+1}(x)-f_n(x) \end{eqnarray*}$ nachzurechnen. Allein das war schon trickreich. Man muß für den linken Nenner die dritte Binomische Formel verwenden.

$\begin{eqnarray*} 1-x^{2^{n+1}}=(1-x^{2^n})(1+x^{2^n}) \end{eqnarray*}$

Ich muß zugeben, daß es bei mir etwas gedauert hat, bis ich die ganze Argumentation von HAL 9000 nachvollzogen habe.

Trotz dem finde ich es schade, daß es passend zu einer Mathematischen Formelsammlungen offenbar keine Links zu den Herleitungen gibt. Wer eine Herleitung wegwirft, wirft doch auch das Wissen sowie gute Methodik weg.

Oder tut HAL 9000 nur so genial und in Wirklichkeit stammt die Herleitung doch aus einer Quelle (Buch, Internetseite), die HAL 9000 nur nicht preisgibt, weil sonst sein Wissensvorsprung schrumpfen könnte? Was sagen denn die anderen Experten auf Matheboard dazu?

Außerdem verstehe ich nicht, warum ich die folgende Kritik verdient haben soll:

Zitat:

Und was das Nichtbeantworten von Fragen betrifft, solltest du dich mal schön an die eigene Nase fassen.

Welche Fragen habe ich nicht beantwortet?

24.11.2019, 03:25

HAL 9000

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Du denkst allen Ernstes, ich habe ein dickes Kompendium über alle möglichen Reihen (dessen Titel ich euch vorenthalte) und suche mir dann nur noch die passende Stelle raus, wenn ein Herr Ulrich Ruhnau mit so einer Reihe aufkreuzt? Und dann pinsele ich nur noch den im Buch vorliegenden Beweis ab?

Und das, weil sich ein Herr Ulrich Ruhnau nicht vorstellen kann, dass ich allein auf so einen Beweis kommen kann? Finger1

Die Wahrheit ist viel banaler: Es ist keine umfangreiche Bibliothek nötig, und auch keine umwerfende Genialität, sondern einfach nur ein bisschen solide Arbeit! Sofort aufgefallen ist mir $\begin{eqnarray*} 1-x^2 = (1-x)(1+x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1-x^4 = (1-x^2)(1+x^2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1-x^8=(1-x^4)(1+x^4), \ldots \end{eqnarray*}$ , dazu müssen wohl die meisten Mathematiker (und so auch ich) in kein Buch schauen - und auch, dass dein (zunächst) erster Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ nicht in das Schema der anderen Terme rechts passt, also hatte ich ihn einstweilen schon mal durch $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ ersetzt. Dann hab ich mir die ersten Partialsummen angeschaut:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1-x^2} + \frac{x^2}{1-x^4} = \frac{x(1+x^2)+x^2}{1-x^4} = \frac{x + x^2 + x^3}{1-x^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x + x^2 + x^3}{1-x^4} + \frac{x^4}{1-x^8} = \frac{\left(x + x^2 + x^3\right)\left(1+x^4\right)+x^4}{1-x^8} = \frac{x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7}{1-x^8} \end{eqnarray*}$

Und da bin ich (ja ist es denn zu glauben!) darauf gekommen, dass das im Zähler doch die Partialsumme einer geometrischen Reihe sein könnte, d.h. man könnte die beiden Partialsummen auch schreiben

$\begin{eqnarray*} \frac{x\left(1-x^3\right)}{(1-x)\left(1-x^4\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x\left(1-x^7\right)}{\left(1-x\right)\left(1-x^8\right)} \end{eqnarray*}$

Und daraus dann allgemein denn Term $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1-x}\cdot \frac{1-x^{2^n-1}}{1-x^{2^n}} \end{eqnarray*}$ zu vermuten, dazu bedarf es keines "geheimen" Bücherwissens.

Jetzt kannst du mir vorwerfen, dass ich nicht den gesamten obigen Erkenntnisprozess genauso aufgeschrieben haben. Aber warum sollte ich das tun? Das oben sind bis dato nur Umformungen für spezielle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , ohne Beweiskraft für allgemeines $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Die ist erst gegeben, wenn ich das oben als Induktionsbeweis formalisiert hätte - oder eben den anderen von mir oben im Thread gewählten Weg gehe.

P.S.: Ich habe dich bisher für einen eigenartigen, aber harmlosen Kauz gehalten, z.B. wegen Bemerkungen wie dieser: In der Sache überflüssig, aber (wie ich dort anschließend bemerkte) hat ja jeder das Recht, seinen Senf dazuzutun. Nach deinen obigen Bemerkungen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Oder tut HAL 9000 nur so genial und in Wirklichkeit stammt die Herleitung doch aus einer Quelle (Buch, Internetseite), die HAL 9000 nur nicht preisgibt, weil sonst sein Wissensvorsprung schrumpfen könnte? Was sagen denn die anderen Experten auf Matheboard dazu?

ändere ich jetzt meine Meinung: Mit diesem deinem Aufruf zum Aufstand der ehrlichen Massen gegen den bösen, das Wissen zurückhaltenden HAL 9000 hast du dich würdig vom "Kauz" zum "Troll" hochgearbeitet - herzlichen Glückwunsch.

Und: Wer im Glaushaus sitzt, sollte bekanntlich nicht mit Steinen werfen. Ich warte immer noch auf eine Antwort dort.

24.11.2019, 13:00

Ulrich Ruhnau

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Danke an HAL 9000 für die Erklärung und die damit verbundenen mathematischen Erkenntnisse! Ob ich wegen meiner Art zu fragen gleich ein Troll bin, weiß ich nicht. Vielleicht sind wir alle Trolle, solange wir Fragen stellen müssen. Da lobe ich mir das Motto aus der Sesamstraße: "Wer nicht fragt bleibt dumm."

Menschlich gewinne ich die Erfahrung, daß man hier zur Erkenntnis geprügelt wird, solange man sich hartnäckig meldet und auch eine Meinung hat, auf der die Gurus durch Widerspruch oder Ergänzung aufbauen können. Nochmals meinen Dank dafür! Denn ein unsanfter Lehrer ist besser als gar keiner.

Im Übrigen, war mir der Begriff "Teleskopsumme" völlig neu. Ganz schwach kann ich mich daran erinnern, daß ich im meinem Physikstudium schon mal eine derartige Aufgabe hatte. Aber der Begriff "Teleskopsumme" wurde dabei nicht vermittelt. Er liefert mir jetzt jedoch im Internet viele nützliche Herleitungen.

24.11.2019, 13:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Menschlich gewinne ich die Erfahrung, daß man hier zur Erkenntnis geprügelt wird, solange man sich hartnäckig meldet und auch eine Meinung hat, auf der die Gurus durch Widerspruch oder Ergänzung aufbauen können.

Bilde dir ja nichts auf diesen Pyrrhussieg ein.

Zitat:

Original von http://ruhnau-net.de/AllGesMathDienst.html
6. Ich lege Wert auf einen freundlichen Umgang und einen guten Willen.

Ich auch. Und mit diesem ungeheuerlichen und persönlich diffamierenden und beleidigenden

Zitat:

für das du dich bis jetzt nicht entschuldigt hast, bleibst du für mich ein waschechter Troll:

Zitat:

Auszug aus https://de.wikipedia.org/wiki/Troll_(Netzkultur):

Als Ergebnis wurden vier Verhaltensmuster festgehalten: [...]
3. Trolle richten nicht nur inhaltlichen Schaden an, sondern versuchen auch, Konflikte innerhalb der Community zu schüren.

Letzteres passt wie die Faust aufs Auge. Und das erstere mit dem "inhaltlichen Schaden" richtest du gerade permanent im Parallelthread mit den Waffen an. Du bist für mich auf Grund dieses deines Verhaltens bis auf weiteres gestorben.

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