Weg/Zeit Berechnung aus nicht linearer Geschw.

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hundsmiachn Auf diesen Beitrag antworten »
Weg/Zeit Berechnung aus nicht linearer Geschw.
Meine Frage:
Hallo Zusammen

Ich schreibe gerade eine Garmin App die für den Wings for life world run die die erreichbare Distanz/Zeit ermittelt auf Basis der aktuellen Durchschnittsgeschwindigkeit.
Kurz zum Lauf. 30min nach dem Start fährt ein Auto mit 14km/h los. Dieses erhöht alle 30min die Geschwindigkeit um 1km/h. Nach 3h wird die Geschw. um 4km/h und nach 3.5h auf 26km/h erhöht.
Wenn dich das Auto einholt ist das Rennen vorbei.
Ich habe bereits 2 Funktionen die mir aus einer Distanz die Zeit ermittelt, und eine Funktion die mir aus einer Zeit die erreichte Distanz ermittelt. Soweit war das kein Problem.

Die Tabelle sieht so aus:
00:00 bis 00:30 -> 0 km/h 0 km
00:30 bis 01:00 -> 14 km/h 0 bis 7 km
01:00 bis 01:30 -> 15 km/h 7 bis 14,5 km
01:30 bis 02:00 -> 16 km/h 14,5 bis 22,5 km
02:00 bis 02:30 -> 17 km/h 22,5 bis 31 km
02:30 bis 03:00 -> 18 km/h 31 bis 40 km
03:00 bis 03:30 -> 22 km/h 40 bis 51 km
ab 03:30 -> 26 km/h mehr als 51 km

Also z.b Wenn ich genau 3h gelaufen bin als mich das Auto eingeholt hat, bin ich 40km weit gekommen.

Funktion1 CD(t) = s -> CurrDist(3*60*60) = 40000 ( in sekunden und meter)
Funktion2 CT(s) = t -> CurrTime(40000) = 10800 (die 3h)
Das wäre eine durchschnittliche Geschw. von 40000/10800 = 3.703 m/s

Soweit funktioniert alles. Ich möchte aber nun die erreichbare Distanz/Zeit aus meiner Durchschnittsgeschw. errechnen. Habe leider nach einigen Stunden noch immer keine Lösung gefunden, weil ich im Prinzip 1 Gleichung mit 2 Unbekannten habe, und ich nicht auf die 2. Gleichung komme.

Ich hoffe jemand kann mir helfen.
dank euch schon mal
lg
Erich



Meine Ideen:
Ich habe v = CD(t) / CT(s)
s/t = CD(t) / CT(s)

eine weitere Gleichung wäre ja: CD(CT(s)) = s
aber wo baue ich die ein????
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Weg/Zeit Berechnung aus nicht linearer Geschw.
Willkommen im Matheboard!

Eine explizite Formel kann hier nicht aufgestellt werden, da das Auto seine Geschwindigkeit ja jeweils sprunghaft erhöht und dann auch später noch mit anderen Sprungwerten.

Man könnte jedoch vereinfachend aus den ersten Wertepaaren eine Funktion aufstellen. Es ist ja ein rekursives Bildungsgesetz, nach etwas Umformen erhält man dafür diese Parabel für die ersten drei Stunden (rot eingezeichnet):



Eine gegebene Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht nun einer Ursprungsgerade mit einer bestimmten Steigung, somit einer linearen Funktion. Im Bild habe ich mal eine solche Gerade mit Steigung 8, also 8km/h, grün eingezeichnet.

Wir suchen den Schnittpunkt mit dieser Parabel, also werden die Funktionsterme gleichgesetzt und aufgelöst. Geht schnell mit der pq-Formel, hier ist die Lösung 1 Stunde und 9 Minuten.

Diesen Ansatz könnte man nun noch verfeinern, indem eine Treppenfunktion eingeführt wird und die höheren Sprünge nach den drei Stunden berücksichtigt werden.

Viele Grüße
Steffen
 
 
hundsmiachn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Dank dir für deine Mühe. Das Problem ist allerdings auch, dass ich nicht die gesamte Durchschnittsgeschw. heranziehen will, sondern die der letzten 5 Minuten.

Ich habe programmtechnisch eine Variante erstellt, die den Wert annähernd ermittelt. Ich hätte zwar lieber einen Wert mit einer Berechnung, aber das hab ich bisher nicht geschafft.

Mein Ansatz ist folgender:

Ich habe bereits die beiden Funktionen die mir für das Auto aus dem Weg die Zeit berechnet und umgekehrt (s = CD(t) bzw. t = CT(s)).

Für meine Berechnung habe ich gegeben:
* Meine aktuelle Distanz (Sl) (Läufer)
* meine aktuelle Zeit (Tl)
* Meine aktuelle Durchschnittsgeschwindigkeit der letzten 5min (Vl)

daraus ergibt sich:
* Distanz Auto Sa = CD(Tl) (Zeit ist ja die gleiche)

Gesucht ist T2, daraus kann ich dann die Distanz mit CD(Tl + T2) errechnen.

Daraus ergibt sich die Formel:

Sl + Vl*T2 = CD(Tl + T2) -->

Sl + Vl*T2 - CD(Tl + T2) = 0

Meine Lösung ist nun, dass ich T2 in einer Schleife so lange erhöhe bis der Term <= 0 wird, dann habe ich mein T2.

Ich bin mir halt nicht sicher, ob es einfacher ginge, mit einer Formel.
Oder wie kann ich die obige Formel nach T2 auflösen? Die Funktion CD ist ja die Umkehrfunktion von CT.
Könnte das man das also so umformen, dass ich mir T2 direkt ausrechnen kann?

danke
lg
Erich
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Eine geschlossene Formel wird hier wohl nicht möglich sein, da CD(x+y) nicht weiter aufgelöst werden kann, etwa in CD(x)+CD(y). Somit fürchte ich, Du musst bei Deinem Algorithmus bleiben.
hundsmiachn Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank für deine Hilfe!

lg
Erich
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