Orthogonalitätsrelation umformen

23.11.2019, 17:40	Wildeisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalitätsrelation umformen Meine Frage: Hallo zusammen, es gilt ja unter anderem diese Orthogonalitätsrelation: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{0}^{2\pi} \! sin(nx)sin(mx) \, dx = \begin{cases}<br /> \pi & \text{falls } n = m \\<br /> 0 & \text{falls } n \ne m \\<br /> \end{cases} n,m \in \mathbb{Z}<br /> \end{eqnarray}$ Nun habe ich aber auch in einigen Büchern diesen Ausdruck gefunden: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{0}^{l} \! sin(\frac{n\pi x}{l})sin(\frac{m\pi x}{l}) \, dx = \begin{cases}<br /> \frac{l}{2} & \text{falls } n = m \\<br /> 0 & \text{falls } n \ne m \\<br /> \end{cases} n,m \in \mathbb{Z}<br /> \end{eqnarray}$ Leider kann ich den zweiten Ausdruck auf Basis des ersten leider nicht wirklich nachvollziehen. Aus der Analysis kenne ich halt nur die obere Orthogonalitätsrelation. Was genau ist denn da passiert? Wie kann man das so umformen? Bin da irgendwie ratlos ... Meine Ideen: Meine Idee war es zunächst, das mir irgendwie durch eine Substitution zurechtzubasteln, aber leider haute das nicht hin :/
23.11.2019, 17:55	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalitätsrelation umformen Mich wundert nichts. Ganz leicht kann man die Integrationsvariable $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ substituieren, sodaß beide Integralformeln sich nicht widersprechen. $\begin{eqnarray} \frac{\pi x_2}{l}=x_1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{l}dx_2=d x_1 \end{eqnarray}$ Der Faktor $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{l} \end{eqnarray}$ bringt also den Unterschied.
23.11.2019, 20:02	Wildeisen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalitätsrelation umformen Ja, genau mit dieser Substitution habe ich es auch versucht, nur würden sich doch dabei die Integrationsgrenzen auf $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 2l \end{eqnarray}$ ändern anstatt so, wie es im Ausdruck steht, nämlich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ . Es muss ja in der Rücksubstitution den Grenzen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ entsprechen und nicht $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ . Und $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{l}\cdot\pi \end{eqnarray}$ führt ja auch nicht direkt zu $\begin{eqnarray} \frac{l}{2} \end{eqnarray}$ . Würde mich freuen, wenn das vielleicht noch etwas mehr im Detail dargestellt wird
24.11.2019, 11:05	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalitätsrelation umformen Hallo, Du musst noch zum Beispiel die erste Formel auf das halbe Intervall umsetzen und dabei die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen ausnutzen. Dann geht es auf. Gruß pwm

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