Positiv definit äquivalent zu nicht ausgeartet |
| 23.11.2019, 18:01 | Mathe234 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Positiv definit äquivalent zu nicht ausgeartet Hallo, Ich sitze gerade an einer Aufgabe und bin etwas verzweifelt. "Sei K ein reeler oder komplexer Körper, V ein K-VR und ¥:V×V->K eine symmetrische Bilineareform beziehungsweise Hermit'sche Form, welche positiv semi-definit ist." Nun soll ich zeigen: ¥ ist positiv definit <=> ¥ ist nicht ausgearte Meine Ideen: "=>" habe ich relativ schnell mit einem Widerspruchsbeweis geschafft. Nun fehlt noch "<=". Wenn ¥ nicht ausgeartet ist, ist ¥ im 1. UND im 2. Argumentativ nicht ausgeartet, also 1. (¥(v,w)=0 für alle w aus V) => v=0 2. (¥(v,w)=0 für alle v aus V) => w=0 Weil ¥ positiv semi-definit ist, gilt ¥(v,v) aus R größer gleich 0: {x aus R:x größer gleich 0} Ich muss also nur zeigen, dass das ganze auch für jeweils >0 statt größer gleich 0 gilt. Da ¥ symmetrisch ist, weiß ich, dass ¥(v,w)=¥(w,v) gilt. Ich glaube aber nicht, dass ich letzteres für den Beweis brauche. Möglicherweise könnte ich die cauchy-Schwarze Angleichung verwenden, aber das ergibt nur Sinn, wenn v und w linear abhängig sind. Doch ich weiß ja nicht über v und w. Wie gehe ich jetzt am besten vor? Ich entschuldige mich, dass es etwas unübersichtlich ist, doch ich habe die formeln leider nicht mit Latex eingefügt bekommen 
ich hoffe, ihr versteht es trotzdem. |
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