Verknüpfung unabhängiger Ereignisse

24.11.2019, 12:13

Tino11

Verknüpfung unabhängiger Ereignisse

Meine Frage:
Es seien $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathbb{F}, \mathbb{P}) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \in \mathbb{F} \end{eqnarray*}$ unabhängige Ereignisse. Zeigen Sie, dass auch $\begin{eqnarray*} A\cup B,C^c,D \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

Meine Ideen:
Leider habe ich noch gar keinen Ansatz.

24.11.2019, 12:50

Elvis

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Kennst du die Definition ? Wann nennt man Ereignisse unabhängig ?

24.11.2019, 13:09

Tino11

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$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A) P(B) \end{eqnarray*}$

24.11.2019, 14:16

Elvis

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Nicht nur für die Mengen A und B sondern für alle anderen Durchschnitte auf der Seite der Voraussetzungen. Und dann musst du unter diesen Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeiten der Durchschnitte von Mengen auf der Seite der Behauptungen berechnen.

24.11.2019, 14:20

Tino11

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Könntest du das einmal kurz vorrechnen?

24.11.2019, 16:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tino11
Könntest du das einmal kurz vorrechnen?

Kaum vorstellbar, dass das kurz möglich ist.

Lang kann ich anbieten:

De facto geht es um eine Kombination von c) und d) aus diesem verwandten Thread

Stochastische Unabhängigkeit .

c) ist in dem Thread dort bereits nachgewiesen worden, bleibt noch d) nachzuweisen:

Sei $\begin{eqnarray*} 3\leq i_1< \ldots < i_k\leq n \end{eqnarray*}$ irgendeine Indexauswahl (ggfs. auch "leer"). Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \left(A_1\cup A_2\right) \cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} = \left( A_1\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) \uplus \left( (A_2\setminus A_1)\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) \end{eqnarray*}$

und folglich $\begin{eqnarray*} P\left(\left(A_1\cup A_2\right) \cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j}\right) = P\left( A_1\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) + P\left( (A_2\setminus A_1)\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) \end{eqnarray*}$ .

Ebenso folgt aus

$\begin{eqnarray*} A_2\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} = \left( (A_1\cap A_2)\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) \uplus \left( (A_2\setminus A_1)\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) \end{eqnarray*}$

dann $\begin{eqnarray*} P\left( A_2\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j}\right) = P\left( (A_1\cap A_2)\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) + P\left( (A_2\setminus A_1)\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) \end{eqnarray*}$ .

Die zweite in die erste Gleichung eingesetzt bekommt man

$\begin{eqnarray*} P\left(\left(A_1\cup A_2\right) \cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j}\right) = P\left( A_1\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) + P\left( A_2\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j}\right) - P\left( A_1\cap A_2\cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt die vorausgesetzte Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} A_1,\ldots,A_n \end{eqnarray*}$ rechts angewandt und ausgeklammert bekommt man

$\begin{eqnarray*} P\left(\left(A_1\cup A_2\right) \cap \bigcap_{j=1}^k A_{i_j}\right) = \left(P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)- \left(A_1\cap A_2\right)\right) \prod_{j=1}^k P\left(A_{i_j}\right) = P\left(A_1\cup A_2\right)\prod_{j=1}^k P\left(A_{i_j}\right) \end{eqnarray*}$ .

Das ist der fehlende Baustein, der zum kompletten Unabhängigkeitsbeweis von $\begin{eqnarray*} A_1\cup A_2,A_3,\ldots,A_n \end{eqnarray*}$ noch fehlte.

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Deine vorliegende Aufgabe ist nach diesen Vorarbeiten dann ein Einzeiler:

Aus " $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ unabhängig" folgt via c) die Aussage " $\begin{eqnarray*} A,B,C^c,D \end{eqnarray*}$ unabhängig" und via d) dann " $\begin{eqnarray*} A\cup B,C^c,D \end{eqnarray*}$ unabhängig".

24.11.2019, 18:18

Tino11

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Ich verstehe leider nicht, wo das Komplement in c) zu finden ist und wie ich das anwenden kann.
Wie kann ich d) zeigen?

24.11.2019, 20:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tino11
Ich verstehe leider nicht, wo das Komplement in c) zu finden ist und wie ich das anwenden kann.

c) sagt aus, dass man beliebig viele der A_n durch ihr Komplement ersetzen kann, und die n Ereignisse dann trotzdem noch unabhängig sind. Das gilt also im speziellen auch für n=4 Ereignisse, von denen 1 durch das Komplement ersetzt wird.

Zitat:

Original von Tino11
Wie kann ich d) zeigen?

Eine seltsame Frage, da ich oben ja den Beweis für d) hingeschrieben hatte.

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