Zeigen dass Menge ein Ideal ist

24.11.2019, 14:30

yd010398

Zeigen dass Menge ein Ideal ist

Meine Frage:
Hi, ich soll zeigen, dass wenn R ein kommutativer Ring und I ein Ideal von R ist, die Menge $\begin{eqnarray*} \sqrt{I}={a\in R: \exists n\in \mathbb N s.d. a^{n}\in I} \end{eqnarray*}$ auch ein Ideal ist.

Meine Ideen:
Mir fehlt eigentlich nur noch, dass für $\begin{eqnarray*} a, b \in \sqrt{I} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a+b \in \sqrt{I} \end{eqnarray*}$ gilt. Als Hinweis ist gegeben, dass in kommutativen Ringen der binomische Lehrsatz gilt, also wollte ich $\begin{eqnarray*} (a+b)^{kgV(n,m)} \end{eqnarray*}$ betrachten, ich sehe allerdings nicht, wieso ich hier ein Element aus I erhalten soll. Danke für eure Hilfe.

24.11.2019, 15:36

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RE: Zeigen dass Menge ein Ideal ist
Wenn $\begin{eqnarray*} a^j\in I \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} a^jb^{k-j} \end{eqnarray*}$ .

24.11.2019, 15:58

yd010398

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RE: Zeigen dass Menge ein Ideal ist
Aber ich weiß doch nur, dass $\begin{eqnarray*} a^{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^{m} \end{eqnarray*}$ in I für ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt, also woher weiß ich, dass für alle j $\begin{eqnarray*} a^{j} \end{eqnarray*}$ in I liegt?

24.11.2019, 16:12

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RE: Zeigen dass Menge ein Ideal ist
Es muss ja gar nicht $\begin{eqnarray*} a^j\in I \end{eqnarray*}$ für alle j gelten.
Nehmen wir mal an, $\begin{eqnarray*} a^n, b^m\in I \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} a^j b^{n+m-j}=a^jb^{n-j}b^{m}=a^na^{j-n}b^{m+n-j} \end{eqnarray*}$ .

Ich frage mich gerade, warum man nicht einfach $\begin{eqnarray*} a+b=a^na^{1-n}+b^{m}b^{1-m} \end{eqnarray*}$ nehmen kann.
Der erste Summand ist im Ideal I, weil $\begin{eqnarray*} a^n\in I \end{eqnarray*}$ , der zweite ebenso. verwirrt

25.11.2019, 09:49

yd010398

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RE: Zeigen dass Menge ein Ideal ist
Verstanden, danke!

25.11.2019, 10:59

Leopold

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RE: Zeigen dass Menge ein Ideal ist

Zitat:

Original von URL
Ich frage mich gerade, warum man nicht einfach $\begin{eqnarray*} a+b=a^na^{1-n}+b^{m}b^{1-m} \end{eqnarray*}$ nehmen kann.
Der erste Summand ist im Ideal I, weil $\begin{eqnarray*} a^n\in I \end{eqnarray*}$ , der zweite ebenso. verwirrt

Ringelemente brauchen doch nicht invertierbar zu sein.

25.11.2019, 14:03

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RE: Zeigen dass Menge ein Ideal ist
Aber natürlich Finger1

Danke Leopold.

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