Konvergenz einer Reihe

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24.11.2019, 15:59	lichtgarage	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe Liebe Alle, wir sollen folgende Reihe (siehe Anhang) auf Konvergenz und Absolute Konvergenz untersuchen. Als Zusatzinformation steht noch dabei, dass die Lösung via (1-1/n)^n -> 1/e erleichtert wird. Ich scheitere leider kläglich daran und würde mich freuen, wenn mir jemand eine nachvollziehbare Erklärung dafür liefern könnte. PS: Bitte entschuldigt die schlechte Formatierung, ich bin neu hier und verstehe noch nicht ganz wie das funktioniert. Vielen Dank!
24.11.2019, 16:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Das Wurzelkriterium hilft.
24.11.2019, 16:27	lichtgarage	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Den Zusammenhang mit 1/e verstehe ich dann nicht. Ist das Ergebnis dann einfach 1 und es ist divergent? (Denke jetzt an n-te Wurzel aus n...)
24.11.2019, 16:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Nein, ist es nicht. Den Hinweis verstehe ich auch nicht, weil man im Nenner einfach auf (1+1/n)^n kommt. Wie hast du denn gerechnet?
24.11.2019, 19:24	lichtgarage	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte den Zähler geteilt, und die n-te Wurzel davon gezogen (die n-te Wurzel aus N und die n-te Wurzel aus q hat ja einen limes von 1). Aber das war schon mehr aus Verzweiflung heraus. Reihen sind echt nicht meine Stärke...
24.11.2019, 19:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sind uns einig, dass es um das Verhalten von $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{2^n\frac{n^{n^2}}{(n+1)^{n^2}}} \end{eqnarray}$ geht, oder? Den Ausdruck muss du jetzt passend umformen, mit Reihen hat das jetzt nichts mehr zu tun sondern mit Potenzgesetzen. Wie hast du weiter umgeformt. Was heißt, du hast den Zähler geteilt? Klicke bei meinem Beitrag auf "zitat", dann kannst du dir die Formel kopieren und von dort aus weiter schreiben.
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24.11.2019, 19:58	lichtgarage	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast, die Wurzel ist nicht in der Angabe (siehe Foto von ursprünglichem Post). Du hast damit natürlich recht, ich scheitere an den Potenzregeln. Bei mir ist leider fast ein Jahrzehnt zwischen Schulabschluss und Studium vergangen. Da sind die Basics oft das größere Problem. Vor allem, das nicht wissen, was ich tun soll.
24.11.2019, 20:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kennst das Wurzelkriterium im Zusammenhang mit Konvergenz von Reihen? Daher kommt nämlich die Wurzel.
24.11.2019, 20:04	lichtgarage	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Theorie ja, ich weiß nur nicht ganz, wie ich das hier umsetzen soll...
24.11.2019, 20:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich dir hingeschrieben. Die n-te Wurzel aus dem Reihenglied. Woran scheitert es da?
24.11.2019, 20:26	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Betreffs Zusatzinformation: Könnte mir vorstellen, dass gemeint ist $\begin{eqnarray} \frac{n^{n^{2} } }{(n+1)^{n^{2} } } =\left(\frac{n}{n+1} \right)^{n^{2} } = \left(\frac{n+1-1}{n+1} \right)^{n^{2} } =\left(1-\frac{1}{n+1} \right)^{n^{2} } =\left[\left(1-\frac{1}{n+1} \right)^{n} \right]^{n} =\left[\frac{n+1}{n}\left(1-\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \right]^{n} \end{eqnarray}$ Falls es beiläufig hilft.
24.11.2019, 20:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@klauss Das geht natürlich auch, aber es ist schon umständlicher, als gleich den direkt vorliegenden und aus der Schule ja eigentlich auch bekannten Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e \end{eqnarray}$ zu verwenden. URL wäre vermutlich froh, wenn er überhaupt mal zu diesem Punkt käme - momentan kämpft er noch an einer ganz anderen, viel schwierigeren Front: Den Fragesteller überhaupt zu irgendeiner (wenn auch noch so geringen) Mitarbeit zu motivieren...
24.11.2019, 20:43	lichtgarage	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab es jetzt so wie du sagst unter die Wurzel gestellt und dann die Wurzel gezogen, da bleibt mir dann: (2*n^n )/(n+1)^n Aber da bekomm ich ja dann wieder 1 als Grenzwert? Ich versteh das einfach nicht... (Sorry, den Formeleditor check ich noch nicht ganz, da fehlt mir grad die Zeit dafür, weil morgen 09:00 Abgabe)
24.11.2019, 20:46	lichtgarage	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde das ehrlich gesagt äusserst umverschämt, jemandem anzudichten nicht mitzuarbeiten, weil er schlichtweg mit der Aufgabe überfordert ist. Vor allem wenn besagte Person bereits gesagt hat, dass es durchaus Verständnisprobleme mit den Basics gibt.
24.11.2019, 20:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit kann man doch jetzt arbeiten Ich schreib das mal ein bisschen um $\begin{eqnarray} (2n^n )/(n+1)^n =2\frac{n^n}{(n+1)^n}=2\frac{1} {\frac{(n+1)^n}{n^n}}=2\frac{1} {(1+\frac{1}{n})^n} \end{eqnarray}$ . Was passiert jetzt für $\begin{eqnarray} n\to \infty \end{eqnarray}$ ?
24.11.2019, 21:05	lichtgarage	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, also da würd ich niemals von selber draufkommen. Also du hast das n^n runter gezogen und wie genau kommst du dann auf den Nenner am Ende? Das kann ich leider gerade nicht nachvollziehen. Da müsste jetzt dann 2/e rauskommen, oder?
24.11.2019, 21:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Nenner passiert folgendes $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^n}{n^n}=\left( \frac{n+1}{n}\right)^n=\left( \frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray}$ 2/e ist richtig. Was sagt jetzt über das Konvergenzverhalten der Reihe aus?
24.11.2019, 21:12	lichtgarage	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhh! Ja, klar - macht Sinn! Danke dir vielmals! 2/e ist kleiner als 1, also konvergiert es absolut.
24.11.2019, 21:13	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es
24.11.2019, 21:15	lichtgarage	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr cool! Vielen dank nochmal, das hat grad echt viel für's Verständnis gebracht!
24.11.2019, 21:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima Verständnis schaffen ist Sinn der Aufgaben.

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