Dimension eines Kerns bestimmen

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24.11.2019, 17:34	Juliette	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension eines Kerns bestimmen Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} f: V \to V \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein n-dimensionaler Vektorraum ist, und $\begin{eqnarray} dim(ker(f)) = 1 \end{eqnarray}$ . Angegeben ist auch noch die n×n - Darstellungsmatrix (rang = n-1) von f, mit der man die erste Aufgabe lösen konnte. Die zweite Aufgabe lautet nun: "Für $\begin{eqnarray} m \in \mathbb N \end{eqnarray}$ setze $\begin{eqnarray} f^{m} = f \circ f \circ ... \circ f \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ mal). Berechnen Sie $\begin{eqnarray} dim(ker(f^{m})) \end{eqnarray}$ . Muss ich für die Lösung dieser Aufgabe die Darstellungsmatrix von f verwenden? Meine Ideen: Habe die ersten Matrixpotenzen ermittelt. Diese hatten alle Rang = 2 und so komme ich zu der Vermutung, dass $\begin{eqnarray} dim(ker(f^{m}) = n - (n-2) = 2 \end{eqnarray}$ . Kann ich das unter Verwendung des Rangsatzes irgendwie sauber beweisen? Kann mir jemand bitte einen Tipp geben?
24.11.2019, 17:56	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Juliette, du willst $\begin{eqnarray} \dim(\ker(f^m)) \end{eqnarray}$ bestimmen. Bekannt ist dir der Rang von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \dim(\ker(f)) \end{eqnarray}$ . Kennst du den Zusammenhang zwischen Rang, Kern- und Bilddimension? Ist gerade etwas schwierig zu entscheiden, ob das alles zu dem aktuellen Stoff passt. Wenn dir die Rangungleichung von Sylvester bereits ein Begriff ist, sollten dir diese beiden Infos bereits helfen.
24.11.2019, 18:39	Juliette	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension eines Kerns bestimmen Danke! Also meinst du $\begin{eqnarray} rg( f \circ f) = rg f \end{eqnarray}$ ? Ist das die Ungleichung. Habe im Netz nichts Eindeutiges gefunden...
24.11.2019, 19:50	Juliette	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige, ich meinte * $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$
24.11.2019, 20:15	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ungleichung lautet [attach]50089[/attach]. Nun könntest du mit deinem Ansatz zum Beispiel induktiv arbeiten.
24.11.2019, 21:34	Juliette	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Wir hätten dann also $\begin{eqnarray} (n-1) + (n-1) - n = n-2 \leq rang(A \cdot B) \leq n-1 \end{eqnarray}$ , richtig? Das Problem ist, dass für rang(AB) jetzt zwei Werte infrage kommen... Kann ich den einen per Widerspruchsbeweis ausschließen?
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25.11.2019, 00:29	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und vollständige Induktion nicht vergessen, sonst hast du nur den Fall $\begin{eqnarray} m=2 \end{eqnarray}$ gezeigt.
25.11.2019, 02:15	Juliette	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Nach der vollständigen Induktion hätten wir dann $\begin{eqnarray} n - 2 \leq rg(f^{m}) \leq n-1 \end{eqnarray}$ Aber damit haben wir den Wert doch nur abgeschätzt, wie berechnen wir ihn jetzt konkret? Aber auf jeden Fall schon einmal ein großes Danke; du rettest mir das Leben
25.11.2019, 09:31	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht denn dein Widerspruchsbeweis aus? Wenn du diesen für den Fall $\begin{eqnarray} m=2 \end{eqnarray}$ geführt hast, bleibt dir ja nur eine Lösung übrig. Die vollständige Induktion liefert dir also keine neue Lösung mehr, sondern bleibt der einen
26.11.2019, 19:12	Juliette	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke, dann also der Widerspruchsbeweis. Sei $\begin{eqnarray} rg (f^{m}) = n-1 \end{eqnarray}$ . Dann ist wegen der Induktion auch $\begin{eqnarray} rg f^{2} = 1 \end{eqnarray}$ . Wir haben jedoch gesehen, dass rang f^2 = 2 (ich habe die Darstellungsmatrix berechnet, indem ich die von f quadriert habe). -> Widerspruch! So, oder?
26.11.2019, 19:18	Juliette	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry! So ist es richtig Okay, danke, dann also der Widerspruchsbeweis. Sei $\begin{eqnarray} rg (f^{m}) = n-1 \end{eqnarray}$ . Dann ist wegen der Induktion auch $\begin{eqnarray} rg f^{2} = \end{eqnarray}$ n-1 . Wir haben jedoch gesehen, dass rang f^2 = n-2 (ich habe die Darstellungsmatrix berechnet, indem ich die von f quadriert habe). -> Widerspruch! So, oder?

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