Integralumformung Substitution und Rechnung

24.11.2019, 19:36	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralumformung Substitution und Rechnung $\begin{eqnarray} <br /> \text{Es sei die Funktion } v: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \text{ definiert durch: }<br /> v(t) := -\frac{\cos^2{(\frac{\pi t}{2})} - 2 \cdot \arctan{(\frac{t - 3}{2})}}{4}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \text{Nehmen Sie zunächst die Integralumformung }<br /> \int_{1}^{5} v(t) dt = \int_{-1}^{1} w(x) dx =: I(w)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \text{durch eine Substitution } t = \varphi{(x)} \text{ mittels einer geeigneten reell-affin-linearen Funktion } \varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ mit } \varphi{(-1)} = 1 \text{ und }\varphi{(1)} = 5 \text{ vor } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \varphi{(x)} := ? \quad \text{ und } <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> w(x) := ? \quad x \in \mathbb{R} \text{an!} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \text{ Zerlegen Sie anschließend } w = w_g + w_u \text{ in einen geraden Anteil } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> w_g \text{ und einen ungeraden Anteil } w_u \text{ und geben Sie den geraden Anteil für nicht-negative } x \in [0\|\infty) \text{ in möglichst einfacher Weise explizit an }<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_g(x) = ? <br /> \text{ und berechnen Sie abschliessend das nun noch verbleibende Integral }<br /> I(w) = 2 \cdot \int_{0}^{1} w_g(x) dx = ?<br /> \end{eqnarray}$ Frage: Was muss ich wie substituieren, damit ich phi(x), w(x) und wg(x) herausbekomme, um das Integral zum zu berechnen ?
26.11.2019, 10:18	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralumformung Substitution und Rechnung Vielleicht geht es dem Aufgabensteller darum, das Integral durch Gauß-Legendre-Integration approximierbar zu machen. Dazu muß die Integrationsvariable x von -1 bis 1 laufen und nicht wie t von 1 bis 5. Also mache ich den Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{t-t_1}{x-x_1} =\frac{t_2-t_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \frac{t-1}{x+1} =\frac{5-1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t-1 =2(x+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t =2x+3 \end{eqnarray}$ und nicht zu vergessen $\begin{eqnarray} dt =2dx \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} v(t)dt=v(2x+3)\cdot 2 dx \end{eqnarray}$ man erkennt hier $\begin{eqnarray} w(x)=2v(2x+3) \end{eqnarray}$ . Nun zu $\begin{eqnarray} w(x)=w_g(x)+w_u(x) \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} w_g(x)=\frac{1}{2}(w(x)+w(-x)) \end{eqnarray}$ der gerade Anteil der Funktion $\begin{eqnarray} w(x) \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} w_u(x)=\frac{1}{2}(w(x)-w(-x)) \end{eqnarray}$ der ungerade Anteil. Diese Aufteilung hat wohl die folgenden Vorteile: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1} \! w_u(x) \, dx=0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1} \! w_g(x) \, dx=2 \int_{0}^{1} \! w_g(x) \, dx \end{eqnarray}$ . Das sollte vielleicht erst mal genügen.

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