Holomorphe Selbstabbildung mit zwei Fixpunkten

24.11.2019, 23:24

Pete000

Holomorphe Selbstabbildung mit zwei Fixpunkten

Meine Frage:
Sei f:E->E eine holomorphe Selbstabbildung, die zwei verschiedenen Fixpunkte in E besitzt. Wobei E der Einheitskreis ist.
Zu zeigen ist nun dass f(z) = z.

Meine Ideen:
Sorry, ich habe versucht zu zeigen,f(x)-x eine Nullfunktion ist, idem ich zeige: f(x)-x hat genauso viele Nullstellen wie die funktion h(x) =0. Ich denke aber nicht, dass es der beste Weg ist.
Hättet ihr bessere Ansätze?

25.11.2019, 07:53

KeinGastMehr

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Kannst du die Behauptung beweisen, falls $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ ? Der allgemeine Fall kann dann auf diesen Fall zurückgeführt werden.

25.11.2019, 21:05

Pete000

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Hey cool vielen Dank!
Ja ich kann es zeigen für den Fall f(0) = 0. Es ist nämlich der Beweis des Lemmas von Schwarz.
Das Schwarz’sche Lemma: f holomorph, f(0) = 0, f(a) =a => f(z) = z
Aber wie ich von diesem Fall(also 0 als Fixpunkt und ein beliebiger) auf den Allgemeinen Fall(2 beliebige Fixpunkte) schließen kann weiß ich nicht.
Könntest du mir bitte weiterhelfen?
Vielen Dank schon mal im Voraus.

25.11.2019, 22:12

KeinGastMehr

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Zitat:

Original von Pete000
Hey cool vielen Dank!
Ja ich kann es zeigen für den Fall f(0) = 0. Es ist nämlich der Beweis des Lemmas von Schwarz.
Das Schwarz’sche Lemma: f holomorph, f(0) = 0, f(a) =a => f(z) = z

Gut! Wenn man das entsprechend aufschreibt, ist das okay.

Zitat:

Aber wie ich von diesem Fall(also 0 als Fixpunkt und ein beliebiger) auf den Allgemeinen Fall(2 beliebige Fixpunkte) schließen kann weiß ich nicht.
Könntest du mir bitte weiterhelfen?
Vielen Dank schon mal im Voraus.

Du könntest eine biholomorphe Abbildung $\begin{eqnarray*} g \colon E \to E \end{eqnarray*}$ wählen, die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ auf einen Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abbildet (man muss sich noch darüber Gedanken machen, wieso solch ein $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ existiert). Dann gilt $\begin{eqnarray*} (g^{-1} \circ f \circ g)(0) = 0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} g^{-1} \circ f \circ g \colon E \to E \end{eqnarray*}$ hat außer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ noch einen zweiten Fixpunkt. Siehst du, wie du von hier aus zur Behauptung kommst?

08.12.2019, 18:58

Pete000

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Hi sorry, dass ich mich nicht mehr gemeldet habe. Habe eine Biholomorphe Abbildung g definiert mit $\begin{eqnarray*} \begin{math} g(z) =\frac{ z-a}{\-a-z} \end{math} \end{eqnarray*}$

08.12.2019, 18:59

Pete000

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Hi sorry, dass ich mich nicht mehr gemeldet habe. Habe eine Biholomorphe Abbildung g definiert mit $\begin{eqnarray*} \begin g(z) =\frac{ z-a}{\-a-z} \end \end{eqnarray*}$

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