Rekursive Folge

25.11.2019, 20:59	Noplaner	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge Hi, ich grübel seit einiger Zeit über die monotonie folgender rekursive definierter folge: $\begin{eqnarray} x_{1}=b \in \mathbb{R}, x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^2 \end{eqnarray}$ So rein von der Überlegung, wäre doch die folge monoton fallend, ausgenommen im offenen Intervall (0,1)?! Danke für eure Hinweise.
25.11.2019, 21:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Folge ist wegen $\begin{eqnarray} x_{n+1} = x_n-x_n^2 \leq x_n-0 = x_n \end{eqnarray}$ monoton, und zwar OHNE jede Ausnahme.
25.11.2019, 21:35	Noplaner	Auf diesen Beitrag antworten »
danke dir hal. Normalerweise zeigt man die monotonie bzw. Beschränktheit doch durch vollständige Induktion. Ist bei der monotonie (fallend) aber vermutlich auch so klar?
25.11.2019, 21:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Induktionsbeweis ist hier nicht nötig, da man hier ja (wie eben gesehen) das für diese Monotonie nötige $\begin{eqnarray} x_{n+1}\leq x_n \end{eqnarray}$ auch einfach so nachweisen kann, d.h., ohne auf $\begin{eqnarray} x_n\leq x_{n-1} \end{eqnarray}$ zurückgreifen zu müssen - oder etwa nicht? Insofern kannst du zwar einen Induktionsbeweis anzetteln, aber das ist Schießen mit Kanonen auf Spatzen.
25.11.2019, 21:48	Noplaner	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Spatzen lassen wir lieber leben. Für die beschränktheit kann man doch jetzt einfach den limes superior bzw inferior angeben. Limes inferior dürfte per Konvention -unendlich sein, da die folge monoton fallend und limes superior dann 1?!
25.11.2019, 21:51	Noplaner	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes superior = b
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25.11.2019, 22:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment mal, Beschränktheit steht auf einem ganz anderen Blatt. Für die spielt es jetzt schon eine Rolle, wo die Folge startet: 1) Für $\begin{eqnarray} b\in [0,1] \end{eqnarray}$ bleibt die Folge in diesem Intervall, und konvergiert schließlich gegen 0. 2) Für alle anderen $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ wird die Folge spätestens ab dem zweiten Glied negativ, und divergiert anschließend gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ . D.h., nur im Fall 1) kannst du Beschränktheit zeigen.
25.11.2019, 22:22	Noplaner	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die beschränktheit hab ich mir auch so ausgetüftelt.den Beweis gilt es aber nun mit Induktion zu zeigen. Dann wäre die Null aber einziger Grenzwert der folge. Es sei denn die uneigentliche Konvergenz (-unendlich) zählt auch hinzu?
25.11.2019, 22:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese "uneigentliche Konvergenz" nennt man nicht ohne Grund "bestimmte Divergenz". D.h., wenn wir $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ als reelle Folge ansehen, dann spricht man in diesem Fall ganz klar von Divergenz.
25.11.2019, 22:51	Noplaner	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieder etwas hinzugelernt. Dann kann man also lediglich als Grenzwerte 0, 1 und die bestimmte divergenz-unendlich anführen.. Denn aus der beschränktheit resultieren die grenzwerte Danke schön für deine hilfe

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