Multi-Indexschreibweise und monomiale Ideale

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Multi-Indexschreibweise und monomiale Ideale
Hallo liebe Matheboard-Community Wink

Es geht um den Beweis zu folgendem Lemma:

Lemma:

Sei ein monomiales Ideal. Ein Monom liegt in genau dann wenn, teilbar ist durch für einige

Beweis:

Wenn ein vielfaches von ist für einige , dann ist . Das ist relativ klar und folgt direkt aus den Eigenschaften eines Ideals.

Schwer tue ich mich aber bei der anderen Richtung:

:

Wenn , dann

, mit und .

Zwischenfrage: Also mir bereit die Multiindex schreibweise immer ein wenig Probleme mit wird manchmal eben ein Element des Tupels bezeichnet. Hier ist aber schon gemeint, dass gilt oder? Immerhin ist es ja ein Element aus A.

Nun können wir ja jedes Polynom auch als die Summe von Monomen schreiben und erhalten damit:




Frage: Ist der Indize nicht schon verbraucht? Müsste es nicht irgend ein beliebiges sein?


Weiter geht es nun mit:

Nachdem wir die Terme mit dem selben multigrad gesammelt haben, ist jeder Term auf der rechten Seite teilbar durch einige .

Klar ist es dadurch teilbar, aber wäre nicht jeder Term durch andere teilbar, dann würde es ja keinen gemeinsamen Teiler (zwingend) geben. Außerdem verstehe ich auch noch nicht, warum wir überhaupt die Terme mit dem selben Grad zunächst Sammeln müssen.

Wenn das aber gilt, dann ist auch durch einige teilbar. Für mich würde das nur Sinn ergeben, wenn wäre. verwirrt
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