Todescamp auf St. Helena

26.11.2019, 05:36

Dopap

Todescamp auf St. Helena

Diese, meine politisch nicht korrekte Erweiterung der Entenjagd [ 10 perfekte Schützen schießen zufällig auf 10 Enten ]
ist mMn zwar dastisch, dafür aber anschaulich und intuitiv verständlich. Keine Urnen mit unterscheidbaren/ununterscheidbaren
Kugeln etc. etc. sind zur Erklärung notwendig.

Wochentags werden Verurteilte von den Schützen ganz normal bijektiv erschossen!
Samstag schießen die perfekten Schützen gleichzeitig und unabhängig und mit je 1 Kugel
( ohne ununterscheidbare Kugeln geht's in Stochastik nicht ! ) jeweils auf ihr zufällig ausgewähltes Opfer,
genauso wie bei der Entenjagd. Die Überlebenden dürfen vorerst in ihre Zellen zurück.
Sonntags zeigt der Lagerkommandant weiteres Wohlwollen und spendiert den Schützen reichlich Wein und verdreifacht die Schuss-Entfernung, was die Trefferschussquote auf 2/3 sinken lässt.
Die nicht getroffenen "Sonntagskinder" bleiben daraufhin 6 Monate unbehelligt.

Fragen:

Der Kommandant hat schlechte Laune und lässt am Sonntag ungewöhnlich viele Paare antreten.
Gutes oder ein schlechtes Zeichen für Kandidat Hans?
Bei welchen $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ kann Sonntags ein Todeskandidat mit mehr Wkt als bei einem Münzwurf
auf ein geschenktes halbes Jahr rechnen ?
bei welcher genauen "Trefferquote" t hat er und jeder andere Kandidat 3/4=75% Überlebenschancen?

---------------------------------------- Samstags oder Entenjagd --------------------------

Für Kandidat #i: gilt $\begin{eqnarray*} \begin {cases} T_i=1 & \text{falls tot}\\ T_i= 0 & \text{sonst} \end {cases} \end{eqnarray*}$

Der Erwartungswert für T = Anzahl der Toten = $\begin{eqnarray*} E(\sum E(T_i)) \end{eqnarray*}$

der lineare Operator E ergibt $\begin{eqnarray*} E(T)=n P(T_1=1)=n(1-1/n)^n \end{eqnarray*}$

------------------------------------------- Sonntags ---------------------------------------------

E(T) lässt sich rechnerisch leicht, aber langsam auf dem TR simulieren und ergibt für
$\begin{eqnarray*} n=10: \qquad E(T)\approx 0.5 \Rightarrow P(T_1=0) \approx 0.5 \end{eqnarray*}$ Leider kein brauchbarer Entscheider für (2.)

Die indirekt mittels Todeswkt gesuchte Überlebenswkt macht mir mathematisch Schwierigkeiten und habe deshalb den direkten Ansatz
für $\begin{eqnarray*} P(T_1=0) \end{eqnarray*}$ [Kandidat Hans bleibt am Leben] so versucht:

$\begin{eqnarray*} \boxed{P(T_1=0,\,|\,\, n)=\begin{cases} \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}\left(\frac{1}{n}\right)^i(1-\frac{1}{n})^{n-i}(1-\frac{2}{3})^i &\, n >1 \\ 1/3 & n=1\end{cases} } \end{eqnarray*}$

= Die Summe von k =0... n von: ( P von : (genau k von n Schützen wählen Hans als Ziel und treffen alle nicht)).

es ergibt sich $\begin{eqnarray*} <br /> \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c} <br /> n &1 & 2 & 5 & 8 & 9 & 15 & 50 \\\hline <br /> P(T_1=0\,\,|\,\,n)&0.3333& 0.4444& 0.4889 & 0.4985 & 0.5002 & 0.5056& 0.5111 \end{array} \end{eqnarray*}$

(1) ja, mehr Schützen sind gut für Hans, was aber kein Beweis für strenge Monotonie ist.

(2) mehr als n=8 Schützen/Kandidaten ist für Hans besser als ein Münzwurf - siehe oben.

(3) bei $\begin{eqnarray*} t \approx 0.28358342137 \end{eqnarray*}$

Fehler? schlechte Schreibfiguren? etc. ?

26.11.2019, 09:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
1. Der Kommandant hat schlechte Laune und lässt am Sonntag ungewöhnlich viele Paare antreten.
Gutes oder ein schlechtes Zeichen für Kandidat Hans?

Frage 1.1 zu Frage 1:

Darf ich der Verwendung des Begriffs "Paare" entnehmen, dass auch am Sonntag genauso viele Schützen wie Deliquenten vor Ort sind? Das ist nicht selbstverständlich, da nach den Samstagereignissen die Anzahl der noch verbleibenden Deliquenten ja eine Zufallsgröße ist. verwirrt

Frage 1.2 zu Frage 1: Wer ist "Hans" ? Ist das einer, von dem wir bereits wissen, dass er den Samstag überlebt hat? Das könnte ja eine Rolle spielen (absolute vs. bedingte Wkt).

Vielleicht werden diese Fragen ja geklärt, wenn man deine Rechnungen zu dem Thema durchsieht und dann durch Rumrätseln Rückschlüsse zieht, wie die Aufgabenstellung gemeint sein könnte, aber du weißt ja: Sowas mag ich nicht. smile

P.S.: Vermutlich geht es um die Buren, die dort zeitweilig interniert waren - für Napoleon war es ja eher ein Luxusknast. Augenzwinkern

-------------------------------------------------------------------------------------------

EDIT: Nehmen wir mal an, dass die Antworten auf die Fragen 1.1 und 1.2 beide "ja" sind.

Sei $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ die Anzahl der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Schützen, die auf Person 1 zielen, dann ist in der Tat die Überlebenswahrscheinlichkeit für Person 1 gleich

$\begin{eqnarray*} p_n = P(T_1=0) = \sum_{i=0}^n P(N_1=i) P(T_1=0 \mid N_1=i) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \frac{1}{n^i}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-i} \left(1-\frac{2}{3}\right)^i = \left(1-\frac{1}{n} + \frac{1}{3n}\right)^n = \left(1-\frac{2}{3n}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

(Man kann auf diese letztere Formel auch einfacher kommen: Die Ereignisse "Schütze zielt auf Person 1" und "Schütze trifft mit seinem Schuss" sind hier unabhängig voneinander, damit trifft ein konkreter Schütze Person 1 mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{3} = 1-\frac{2}{3n} \end{eqnarray*}$ nicht. Über alle Schützen genommen haben wir eine Gesamtunabhängigkeit dieser $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ Ereignisse und demzufolge auch Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{2}{3n}\right)^n \end{eqnarray*}$ für das hier betrachtete Gesamtereignis $\begin{eqnarray*} T_1=0 \end{eqnarray*}$ .)

$\begin{eqnarray*} (p_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ ist eine monoton wachsende Zahlenfolge mit Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \exp\left(-\frac{2}{3}\right)\approx 0.51342 \end{eqnarray*}$ , d.h., man muss nur lange genug $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ erhöhen, dannn knackt man auch die 50%. Wie ich deiner Tabelle entnehme, ist das ab $\begin{eqnarray*} n=9 \end{eqnarray*}$ der Fall.

Zum Beweis der Monotonie gehen wir das ganze gleich mal allgemeiner an:

Sei $\begin{eqnarray*} a_n = \left(1+\frac{a}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ für beliebige reelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ der kleinste positive Index mit $\begin{eqnarray*} 1+\frac{a}{n_0} > 0 \end{eqnarray*}$ (im Fall $\begin{eqnarray*} a\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist das $\begin{eqnarray*} n_0=1 \end{eqnarray*}$ , im Fall $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ hingegen $\begin{eqnarray*} n_0=\left\lfloor -a\right\rfloor+1 \end{eqnarray*}$ ).

Dann ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ab Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ monoton wachsend, was man so beweisen kann:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(1+\frac{a}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{a}{n}\right)^n} = \left(1+\frac{a}{n}\right) \cdot \left(1-\frac{a}{(n+1)(a+n)}\right)^{n+1} \stackrel{BU}{\geq} \left(1+\frac{a}{n}\right) \cdot \left(1-\frac{a}{a+n}\right) = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ ,

wobei BU für die Bernoullische Ungleichung $\begin{eqnarray*} (1+t)^{n+1}\geq 1+(n+1)t \end{eqnarray*}$ steht, gültig für alle reellen $\begin{eqnarray*} t\geq -1 \end{eqnarray*}$ , so auch für $\begin{eqnarray*} t=-\frac{a}{(n+1)(a+n)} \end{eqnarray*}$ .

26.11.2019, 12:37

Dopap

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die bijektive 1:1 Zuordnung gilt immer.
Ob werktags Samstags oder Sonntags es ist immer ein neues Ereignis vom Kommandanten nach dessen Belieben festgelegt.
Hans ist im Einzelfall beispielhaft ein Name, dem $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ zugeordnet, also jeweils irgendein Hans der "Antreten" muss.
Hans hat keine Historie.

26.11.2019, 13:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Hans hat keine Historie.

Na er hat zumindest die Historie, den Samstag überlebt zu haben.

26.11.2019, 20:16

Dopap

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nein, jedesmal alles auf Null. Praktisch 2 getrennte Aufgaben.
Deshalb auch die dicken Trenner "----------------------------------"

===> Wer den Samstag überlebt hat, ist nicht folglich am Sonntag dran.
Der Kommodore entscheidet nach seinem Gusto. Nur Sonntagskinder bleiben 6 Monate unbehelligt.

Hans ist keine reale Person sondern nur ein Name ( Bezeichner ) für irgend jemand von den Kandidaten die heute antreten müssen, damit eine persönliche Note in die Frage mit einfließt.

Hans in "Hans im Glück" ist auch nicht real.
"Karin Mustermann" "Lieschen Müller" ...

ich werde mich bemühen in Zukunft etwas verständlicher und ausführlicher zu formulieren falls dann nicht die maximale post-Länge überschritten wird. :-)

26.11.2019, 20:43

HAL 9000

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Früher hätte ich gesagt: "Seltsam, dass du zum Rest meines Beitrags nichts sagst." Aber inzwischen bin ich dieses kauzige Verhalten von dir ja gewohnt.

03.12.2019, 08:31

Dopap

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nun, dann hab' ich ein weiters Eigenschaftswort in der Sammlung. Schön ist das nicht.

Aber zum Thema:

die Umformung oder gar der alternative Weg zu $\begin{eqnarray*} \left( 1-\frac{2}{3n}\right)^n \end{eqnarray*}$ ist der richtig gute "door opener" mit dem der Grenzwert kein Problem mehr ist.

Die strenge Monotonie war für eine mögliche allgemeine Aussage erwähnt, war aber nicht direkt eingefordert .
Aber nichtsdestotrotz lehrreich anzuschauen!

03.12.2019, 10:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
nun, dann hab' ich ein weiters Eigenschaftswort in der Sammlung. Schön ist das nicht.

Ich bin ja auch bereit zu lernen: Wie nennt man das treffender, wenn einer so einen Beitrag wie du oben schreibt, dann aber auf eine zeitnahe fachliche Antwort zunächst nur in Nebensächlichkeiten und auf den eigentlichen Inhalt dann erst nach einer Woche reagiert? verwirrt

Na immerhin besser, als gewisse Herren Doktoren "Physikexperten", die einer Fehlerdiskussion erst ausweichen bzw. abwiegeln, und sich dann ihr gar nicht mehr stellen.

04.12.2019, 07:35

Dopap

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die "Nebensächlichkeiten" waren zunächst mal die Klärung der genauen "Prozedur" auf St. Helena ..
und dann verlor ich das wegen Router, Telefon und Drucker/Scanner etwas aus dem Blick.
Generell und in meinem Alter lässt das Tempo etwas nach...
Aber eine falsche "logische" Annahme wie bei dem Feldstärkenmaximum in der Röhre wird
öffentlich revidiert, ob mir das jetzt persönlich gefällt oder nicht.
Schließlich ist mir das zu Klimawandel, Lithium, cosmic redshift, Periheldrehung und Butterfett ja auch gelungen Augenzwinkern

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