Peanoaxiome natürl. Zahlen - Seite 2 |
| 28.11.2019, 14:40 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"...Zweitens geht es, akzeptiert man die prinzipielle Möglichkeit aktualer Unendlichkeit, um die Frage, welche Objekte aktual unendlich sind. Im Bereich der Philosophie der Mathematik kommt dafür insbesondere die Frage einer realen Existenz unendlich mächtiger Mengen in Betracht, darunter zum Beispiel die Klasse der natürlichen Zahlen (was hier eine Position voraussetzt, die man auch „Platonismus“ bezüglich mathematischer Objekte nennt)." Diesen Platonismus lehnst du doch ab? . |
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| 28.11.2019, 14:52 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da ich den Eindruck habe, dass du mich missverstehen willst, gebe ich hiermit auf. 
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| 28.11.2019, 15:29 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Gegenteil, ich will möglichst genau verstehen. Ich selbst habe im übrigen noch keine abschließende Meinung zu dem Thema, sammle vorerst noch Argumente aller Seiten. Das habe ich auch bei den Physikern schon getan. Ich finde eben hier wie da noch Widersprüche und bin nicht sicher, ob das nur an meinem mangelndem Wissen/Verständnis liegt. Deshalb frage ich manchmal hartnäckig, oder nenne es auch nervig, nach. Dabei hatte ich gehofft, dass, wenn ich einen Zipfel an der Wurzel der Mathematik zu fassen bekomme, etwas bessere Klarheit erlange. Daher die Eingangsfrage nach den Peanoaxiomen. Dennoch nichts für ungut und danke für die Geduld, auch an Huggy. Ich habe mir übrigens die von dir empfohlenen Bücher (Genz und Heuser) bestellt. Vielleicht komme ich ja damit etwas weiter. Also bis demnächst. . |
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| 28.11.2019, 18:34 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du mich nicht absichtlich missverstanden hast, dann kann es auch daran liegen, dass ich es nicht gut genug erklärt habe. Ich habe einen Beweis geführt, der sich auf Euklid stützt und so gezeigt, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Das ist meilenweit von jedem Platonismus entfernt, ich vertrete hier und überall, jetzt und immerdar einen logisch axiomatischen Strukturalismus. Ich setze nicht die reale Existenz einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen voraus (was sind Zahlen ???), die könnte nicht in dieser Welt sein, die könnte nicht in meinem Geist sein, an eine platonische Welt der Ideen außerhalb der realen Welt bestehend aus Physik und Biologie will, kann und muss ich nicht glauben. Ich beweise, dass bei gegebenen Axiomen eine Menge natürlicher Zahlen existiert, die diesen Axiomen genügt (der einfache Fall für einen solchen Beweis ist die Angabe eines Modells, z.B. von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ( https://de.wikipedia.org/wiki/Natürliche_Zahl )), und ich beweise, dass eine Menge, die diesen Axiomen genügt, nicht endlich ist. Weil ich mit Axiomen anfange, nennt sich diese Philosophie logisch axiomatischer Strukturalismus. Weil jeder Beweis mit Voraussetzungen und logischen Folgerungen arbeitet, nennt sich diese Philosophie logisch axiomatischer Strukturalismus. Weil die Axiome mathematische Strukturen definieren, das sind Mengen zusammen mit Operationen, nennt sich diese Philosophie logisch axiomatischer Strukturalismus. Ausgehend von den Peano-Axiomen kommen wir ebenfalls ganz schnell zum Ziel. Das Induktionsaxiom brauche ich dafür noch nicht. 1. 0 ist eine natürliche Zahl. 2. Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl S(n) als Nachfolger. 3. 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl. 4. Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich. Behauptung: Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine unendliche Menge. Beweis: Die Nachfolgerfunktion S ist nach 4. injektiv. Annahme : Die Menge der natürlichen Zahlen ist endlich, also N={0,1,...,m}. Nach 3. ist 0 kein Nachfolger, also würden durch die Funktion S m+1 Zahlen m Nachfolger zugeordnet werden. Nach dem Schubfachprinzip wären zwei Nachfolger von verschiedenen Zahlen gleich, also wäre S nicht injektiv. Das ist ein Widerspruch zu 4. Also ist N nicht endlich, also ist N unendlich. was zu beweisen war. Axiome und Logik überzeugen uns davon, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist. Deshalb dürfen Lehrer seit zweitausend Jahren kleinen Kindern das Zählen 1,2,3,... beibringen. Dedekind und Peano haben die Axiome so gestaltet, dass sie dem "natürlichen" Zählen entsprechen und die natürlichen Zahlen als mathematische Struktur vollständig festlegen und damit zur Grundlage des Denkens für MathematikerInnen werden. P.S. Über das Unendliche hat mein Freund Harro Heuser 2008, Teubner Verlag, ein wunderschönes Buch geschrieben: "Unendlichkeiten - Nachrichten aus dem Grand Canyon des Geistes" Wenn du nicht nur allgemeinverständliches lesen möchtest, dann empfehle ich gern wieder einmal Oliver Deiser "Einführung in die Mengenlehre" (hier kannst du Geld sparen: www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1 ) |
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| 28.11.2019, 20:24 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke, ich habe jetzt erst mal genug Futter. Das muss ich mir in Ruhe zu Gemüte führen und dann hoffentlich gut verdauen. Also noch mal danke. . |
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| 29.11.2019, 11:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich brauche doch schon für meinen obigen Beweis das Induktionsaxiom, sonst müsste S keine Funktion sein, also insbesondere keine injektive Funktion. Ein Modell wäre dann auch folgendes. Ein endliches Modell ist allerdings auch ohne Induktionsaxiom nicht denkbar. |
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| 29.11.2019, 17:50 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da wir uns gestern so schön über den Existenzbegriff der Mathematik unterhalten haben, kommt es mir gelegen, dass ich gerade heute folgendes Buch bekommen habe: "From Dedekind to Gödel - Essays on the Development of the Foundations of Mathematics", Edited by JAAKKO HITIKKA, Boston University, 1995 Kluwer Academic Publishers. Es enthält 16 papers, die fast alle auf Vorträgen basieren, die 1992 auf einer Konferenz in Boston gehalten wurden. Dieser Jan von Plato unterscheidet sich offenbar vom alten Platon. https://www.amazon.de/Dedekind-Gödel-Dev...coding=UTF8&me= (schon allein das Literaturverzeichnis am Ende dieses Buches lässt das Herz höher schlagen) |
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| 30.11.2019, 10:54 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erschreckender Preis! |
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| 30.11.2019, 11:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist sehr gut und sehr teuer. Aber ganze 2 Euro pro Buch per Fernleihe, das kann ich mir leisten. |
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| 30.11.2019, 18:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wer schenkt mir das zu Weihnachten ? https://www.reiss-sohn.de/en/lots/9454-A...SOLD_AT_AUCTION Bedenkt, das ist das Fest der Liebe, das muss euch doch eine Kleinigkeit wert sein. 
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