Peanoaxiome natürl. Zahlen |
| 26.11.2019, 09:46 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Peanoaxiome natürl. Zahlen Ich interessiere mich aktuell für die Definition der natürlichen Zahlen. Es wird dabei immer auf die Peanoaxiome verwiesen. Die habe ich auch soweit verstanden und es ist klar, dass die natürlichen Zahlen diesen Axiomen genügen. Allerdings geht aus ihnen nicht hervor, dass die Differenz zwischen einer Natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger genau 1 ist. Man könnte also auch z.B. folgende Menge definieren: (0/0,1/0,2/0,3/...) Diese Menge würde ebenfalls den Peanoaxiomen genügen. (Ich hoffe, die mathemat. Notation ist korrekt.) Allerdings ergeben hier sich Probleme bei der Multiplikation. An welcher Stelle ist nun genau definiert, was eine natürliche Zahl ist, oder wo liegt mein Fehler? . |
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| 26.11.2019, 11:29 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es ergeben sich keine Probleme, wenn du Addition und Multiplikation so definierst, wie sie für die natürlichen Zahlen richtig sind. Es müsste dann also 0,1*0,1=0,1 sein. Man kann nicht definieren, was genau eine natürliche Zahl ist. Die Objekte selbst sind völlig egal, sie müssen nur allen Axiomen genügen, dann sind sie in ihrer Gesamtheit als Menge ein Vertreter der natürlichen Zahlen. Mit anderen Worten, die natürlichen Zahlen sind bis auf Isomorphie festgelegt durch die Axiome und Definitionen. |
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| 26.11.2019, 12:57 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da beißt sich doch irgendwie die Katze in den Schwanz. Ich muss erst wissen, was natürliche Zahlen sind und wie man mit ihnen (richtig) rechnet, um festzustellen, ob eine Menge ein Vertreter natürlicher Zahlen ist?
Die oben angegebene Menge genügt den Axiomen. Dennoch reicht mir das irgendwie nicht, um sie den natürlichen Zahlen zuzuordnen. Eine Multiplikation ist eine fortlaufende Addition. Wenn ich definiere, 0,1*0,1=0,1 dann passt das nicht mehr zusammen.
Genau das ist mein Problem. Aber die gesamte Mathematik baut letztlich auf den natürlichen Zahlen auf. Wie soll das funktionieren, wenn nicht hier an der Wurzel klare Definitionen gelegt werden (können)? . |
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| 26.11.2019, 13:13 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nicht immer. In FO ist nur das Standardmodell bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt. |
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| 26.11.2019, 14:09 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das, was man üblicherweise als Peanoaxiome bezeichnet, charakterisiert die natürlichen Zahlen zunächst mal nur als Zählobjekte. Es gibt ein erstes Objekt. Jedes Objekt hat genau ein Nachfolgeobjekt und zwar so, dass diese Objektkette nicht in sich selbst zurücklaufen darf. Eine Addition oder Multiplikation von natürlichen Zahlen ist damit noch nicht definiert. Dazu bedarf es ergänzender Definitionen. Ohne diese ergänzenden Definitionen erfüllt auch deine Beispielkette (0, 0.1, 0.2, ...) die Peanoaxiome. Wenn du diese Objektkette aber als Teilmenge der reellen Zahlen betrachtest, für die es schon Definitionen gibt, wie man sie addiert und multipliziert, dann beißt sich das mit der üblichen Definition der Addition und Multiplikation der natürlichen Zahlen. Wenn man aber für Addtition und Multiplikation unterschiedliche Definitionen verwendet, darf man sich nicht wundern, wenn das nicht mehr in sich konsistent ist. Siehe z. B hier, https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome wo die Addition von natürlichen Zahlen im Anschluss an die Peano-Axiome definiert wird. |
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| 26.11.2019, 14:41 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das mit der Teilmenge hilft nicht weiter, da die Konstruktion reeller Zahlen auf rationalen Zahlen und diese wiederum auf ganzen Zahlen und damit auch auf natürlichen Zahlen beruht. Der Weg führt also anders herum von den natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen, über die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen. Zuerst muss also eindeutig geklärt werden, was natürliche Zahlen sind. Die Paenoaxiome sind offensichtlich dafür nicht ausreichend. Trotzdem baut die Mathematik darauf auf, dass eben: (0/1/2/3/...) die natürlichen Zahlen sind und nicht: (0/0,1/0,2/0,3/....)? . |
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| 26.11.2019, 15:45 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, das ist eine Möglichkeit, die reellen Zahlen zu konstruieren. Dann hat man aber definiert, dass der Nachfolger von 0 mit 1 bezeichnet werden soll. Man kann dann nicht noch mal von vorne anfangen und sagen April, April, der Nachfolger von 0 soll jetzt mit 0.1 bezeichnet werden. Die 0.1 ist durch die genannte Konstruktion der reellen Zahlen jetzt schon vorgeben und ist bei dieser Konstruktion nicht der Nachfolger von 0. |
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| 26.11.2019, 17:16 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ohne die Festlegung, dass 1 der Nachfolger von 0 ist (oder etwas äquivalentem) erhält man nicht die natürlichen Zahlen, wie wir sie verstehen. Wenn das aber so fundamental ist, warum wurde das nicht mit in die Axiome aufgenommen, sondern eher nebenbei im Nachsatz (auch bei Wiki findet sich das erst nach der Definition von Addition und Multiplikation) festgelegt? . |
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| 26.11.2019, 17:40 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Benennungen selbst sind doch egal. Man muss die Null nicht Null nennen, man könnte ihr auch einen anderen Namen geben und ein anderes Symbol als 0 verwenden. Ebenso bei der Eins. Aber wenn man sich mal auf bestimmte Benennungen festgelegt hat, muss man dabei bleiben. |
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| 26.11.2019, 18:11 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Isomorphie heißt, dass die Benennung egal ist und dass das Verhalten eindeutig bestimmt ist. Die Peano-Axiome legen die Menge der natürlichen Zahlen und ihre wichtigsten Eigenschaften im wesentlichen fest. Addition und Multiplikation werden danach rekursiv definiert und sind dadurch ebenfalls eindeutig, weil das Prinzip der vollständigen Induktion in den Peano-Axiomen enthalten ist. Daraufhin kann man durch geeignete Äquivalenzrelationen sinnvoll und eindeutig zum Ring der ganzen Zahlen und zum Körper der rationalen Zahlen erweitern. Der Körper der reellen Zahlen ist dann z.B. durch die Menge der rationalen Cauchyfolgen modulo Nullfolgen gegeben. Alles funktioniert prima, alles verhält sich wie man es sich wünscht und alles ist jeweils bis auf Isomorphie eindeutig, d.h. die Objekte heißen wie sie wollen, die Strukturen machen das was wir wollen. (Ich glaube, Edmund Landau hat das mal ganz ausführlich so gemacht, aber ich habe keine Literaturangabe mehr dafür ... die Mäuse waren im Keller ...). Beginnt man umgekehrt axiomatisch mit dem Körper der reellen Zahlen, so enthält er wie jeder Körper genau eine 0 und genau eine 1, und daraus entstehen die in den reellen Zahlen enthaltenen natürlichen Zahlen. Selbstverständlich sind auch die reellen Zahlen nur bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt. Sie können heißen wie sie wollen und der Körper der reellen Zahlen darf konstruiert werden, wie es der eine oder die andere Mathematikerin möchte. |
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| 26.11.2019, 21:01 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Benennung ist sicher nicht das Problem, sondern das, was sie repräsentiert. Und da steht die 1 eben für etwas abgeschlossenes ganzes (Entität) und nicht für einen Teil einer Entität. Erst damit wird imho klar, weshalb (0/1/2/3/….) die natürliche Zahlen mit den genannten Eigenschaften und Resultaten für Multiplikation darstellen und nicht (0/0,1/0,2/0,3/…) . |
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| 26.11.2019, 21:33 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist mittelalterliche Zahlenmystik, damit kannst du heute keinen Blumentopf mehr gewinnen. |
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| 26.11.2019, 21:41 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Kannst du das näher erläutern? . |
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| 26.11.2019, 22:45 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nähere Erläuterungen siehe oben. |
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| 26.11.2019, 23:04 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
siehe auch diese bekannte Kurzgeschichte von Peter Bichsel |
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| 27.11.2019, 08:06 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn dem so wäre, hätte ich nicht nachgefragt.
Das ist mir bekannt.
Das ist auch klar.
Das mag sein, war aber hier nicht die Frage. Die Frage war: Weshalb definierte Peano die 1 als Nachfolger der Null? Wenn es nur um eine Benennung ginge, dann müsste er auch die Benennungen der weiteren Nachfolger festlegen. Es kann ihm also nur darum gegangen sein, was eine 1 repräsentiert, also die Schrittweite zwischen den natürlichen Zahlen. Was ist daran mittelalterlich oder mystisch? . |
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| 27.11.2019, 09:03 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn man mathematische Objekte über Axiome und Definitionen konstruiert, haben sie über die durch die Axiome und Definitionen gegebenen Beziehungen zwischen den Objekten hinaus keinerlei Bedeutung. Das ist eine Sichtweise, die sich erst im Lauf der Zeit entwickelt hat. Die alten Griechen hatten da noch eine andere Sichtweise. Wenn man sich der heutigen Sichtweise anschließt, ist es sinnlos zu sagen, die 1 repräsentiere ein abgeschlossenes Ganzes, eine Entität. Es ist sinnlos, weil diese Begriffe in den Axiomen und Definitionen gar nicht vorkommen. Die besondere Rolle der 0 und der 1 ergibt sich ausschließlich aus den Axiomen und Definitionen. Wenn man die natürlichen Zahlen mit der 0 beginnen beginnen lässt, hat die 0 durch die Peano-Axiome zunächst mal eine besondere Rolle, weil sie als das Anfangsglied der Kette definiert ist. Die 1 hat lediglich die Rolle, dass man damit den Nachfolger der 0 bezeichnet. Über die Definition der Addition bekommen die 0 und die 1 dann eine zweite Besonderheit. Die 0 bekommt dann per Definition die Besonderheit, dass für jede natürliche Zahl gilt: Für die 1 folgt danach aus den Definitionen der Addition zusammen mit den Axiomen der Satz, dass für jede natürliche Zahl gilt: Dabei soll den Nachfolger von bezeichnen. Dieser Satz charakterisiert jetzt eine besondere Eigenschaft der 1 innerhalb der natürlichen Zahlen. |
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| 27.11.2019, 09:13 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Deshalb habe ich eine Katze. Edmund Landau Grundlagen der Analysis Ursprünglich erschienen ist das Werk 1929. Ich habe eine ergänzte und kommentierte Ausgabe von 2004. |
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| 27.11.2019, 09:33 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das funktioniert auch bei anderen Zahlenfolgen: (0/0,1/0,2/0,3/...) oder (0/2/4/6/...)
Auch hier könnte man die 1 einfach durch 0,1 oder 2 ersetzen. Man sollte doch aber annehmen, dass wenigstens gerade Zahlen, als Teilbereich der natürlichen Zahlen genau so multipliziert werden, wie alle anderen natürlichen Zahlen auch. Betrachten wir nun die Folge (0/2/4/6/….) so stellen wir fest, dass sie allen Peanoaxiomen genügt. Man würde nun 2 als Nachfolger von 0 definieren. Die Addition funktioniert. Aber mit der Multiplikation kommt man nicht zum richtigen Ergebnis. . |
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| 27.11.2019, 09:38 | KeinGastMehr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du gehst nicht auf den Punkt von Huggy ein. Mach das doch mal. |
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| 27.11.2019, 09:48 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du machst wieder denselben Fehler wie vorher. Einerseits willst du 0,2,4,6... als Symbole für die natürlichen Zahlen verwenden anstatt der üblichen 0,1,2,3,.... Das kann man machen. Siehe aber den Link von Leopold. Anderseits gehts du aber davon aus, dass diese Symbole schon mit Eigenschaften belegt sind. Wenn du 0,2,4,6 ... als Symbole betrachtest, deren Eigenschaften allein durch die Peano-Axiome und Definitionen der Addition Multiplikation festgelegt werden, dann gibt es keine vorherige Definition der Multiplikation, mit der etwas kollidieren könnte. |
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| 27.11.2019, 09:50 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Huggy hat überhaupt nicht über die Multiplikation gesprochen, aber gerade die ist doch das Problem. Alles andere funktioniert doch auch mit meinen Beispielfolgen. Oder beziehst du dich auf die Katze? . |
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| 27.11.2019, 09:55 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, ich möchte sie als Symbole der geraden Zahlen verwenden.
Ich habe mal in der Grundschule gelernt, dass Multiplikation eine fortlaufende Addition darstellt und genau so ist sie auch historisch entstanden. Zumindest damit sollte also jede andere Definition konform gehen. . |
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| 27.11.2019, 10:03 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dann ist die 2 aber nicht der Nachfolger der 0. Dann kollidiert auch nichts.
Die auf die Peano-Axiome folgende Definition der Multiplikation geht auch damit konform. Ich habe jetzt erst mal genug gesagt. Ich würde dir raten, den bisherigen Gang der Diskussion sich erst mal bei dir setzen zu lassen. Bei mir war es jedenfalls oft so, dass eine Sache, die mir zunächst unklar erschien, nach 2 - 3 Tagen von allein viel klarer wurde. |
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| 27.11.2019, 10:09 | laila49 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
löse dich doch einmal von den Namen und bezeichne die Objekte, für die die Peano-Axiome gelten,, z.B. der Reihe nach als Apfel, Birne, Hund, Katze, Milch, Auto,..... wenn du dann eine vernünftige Addition auf diesen Objekten durchführen willst, gilt z.B: Apfel + Milch = Milch Birne + Hund = Katze Apfel ist dann das, was man gemeinhin als neutrales Element bezeichnet. Willst du auch noch so etwas wie eine Multiplikation, dann muss gelten Birne * Auto = Auto Hund * Hund = Milch wenn du vernünftig konsistent rechnen willst. Der Nachfolger von Apfel ist zwangsläufig das neutrale Element der Multiplikation, und der heißt bei mir jetzt Birne. In deinem Modell der "ganzen Zahlen" ist dann halt 2*10=10 und 2*100 = 100. |
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| 27.11.2019, 10:27 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Erst mal danke für deine Geduld. . |
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| 27.11.2019, 10:42 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Noch ein paar Sätze zum Hintergrund meiner Fragen: Die Mathematik versucht offensichtlich sich von der physikalischen Realität ganz abzukoppeln und völlig ins platonische Reich abzutauchen (daher wahrscheinlich auch der Einwand mit der mittelalterlichen Zahlenmystik). Andererseits wundern sich manche Physiker, wieso sich die physikalische Realität so streng mathematisch verhält, wenn doch die Mathematik durch willkürliche und von der physikalischen Realität unabhängige Axiome und Definitionen gestaltet werden kann. . edit: Ich muss jetzt auch erst mal meinem Broterwerb nachgehen. Vielleicht kann man das ja später noch vertiefen. . |
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| 27.11.2019, 11:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Zahlen existieren in der Mathematik und haben keine physikalische Realität. Es sei PhysikerInnen weiterhin gestattet, Zahlen und andere mathematische Objekte und Strukturen zwecks physikalischer Theoriebildung zu benutzen, wenn es der Wahrheitsfindung dient. Es ist PhysikerInnen auch gestattet, über mathematische Philosophie zu spekulieren, aber sie können dabei leicht in die Irre gehen. Zum Begriff der Zahlenmystik siehe auch Harro Heuser "Die Magie der Zahlen - Von einer seltsamen Lust, die Welt zu ordnen" Herder Spektrum 2003. Nach meiner Meinung bewegen sich Mathematiker nicht in einem platonischen Reich, sondern : "Alle mathematischen Objekte sind Objekte in mathematischen Strukturen, sie sind Objekte des gemeinsamen Denkens, Redens und Schreibens von Mathematikern." (Elvis 2013) Über den Zusammenhang zwischen Mathematik und Physik denke ich : "Viele Phänomene der Wirklichkeit, insbesondere naturwissenschaftliche Phänomene, lassen sich mathematisch formulieren. Mathematiker und Nichtmathematiker erstellen mathematische Modelle, können dann mit mathematischen Methoden wahre Aussagen über die Modelle machen, und übersetzen diese Aussagen in Aussagen über die Phänomene. Wenn es Dinge im Universum gibt, die sich so verhalten wie mathematische Objekte, können Naturwissenschaftler durch die Anwendung mathematischen Wissens Erkenntnisse über diese Dinge gewinnen. Mathematiker können diese naturwissenschaftlichen Erkenntnisse als Beispiele für ihre Theorien benutzen. Auf diese Weise ergänzen sich Mathematik und Naturwissenschaften gegenseitig, obwohl sie mit gänzlich verschiedenen Objekten arbeiten: Naturwissenschaften arbeiten mit Theorien über Dinge der wirklichen Welt, Mathematik arbeitet mit Theorien über Dinge in mathematischen Strukturen." (Elvis 2013) Siehe auch Henning Genz "Wie die Naturgesetze Wirklichkeit schaffen - Über Physik und Realität" Hanser Verlag 2002. |
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| 27.11.2019, 14:10 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da klinke ich mich doch noch mal ein. Tatsächlich könnten sich die Mathematiker mit völlig willkürlichen Axiomensystem beschäftigen. Einzige Einschränkung: Das Axiomensystem darf nicht in sich widersprüchlich sein. Womit schon ein Problem auftaucht, dass ich hier nicht vertiefen möchte. Aber das tun die Mathematiker nicht. Die Axiomensysteme, mit denen die Mathematiker sich beschäftigen, beginnen mit Abstraktionen unserer Erfahrungen mit der realen physikalischen Welt. Die von Euklid zusammengestellten Axiome der Geometrie, die dann ihm zu Ehren euklidische Geometrie genannt wurde, waren keine willkürlichen Setzungen. Sie sollten die Geometrie des realen physikalischen Raumes durch einige wenige Aussagen möglichst vollständig charakterisieren. Durch die Beschäftigung mit dem berühmt/berüchtigten Parallelenaxiom ergab sich die Frage, welche logische Konsequenzen eine Abänderung dieses Axioms hätte. Und die fortschreitenden physikalischen Erkenntnisse ergaben, dass der physikalische Raum im großen Maßstab nicht die Geometrie des euklidischen Raums haben muss und dass die Raumzeitgeometrie ganz und gar nicht euklidisch ist. Es ist schwer vorstellbar, dass die nichteuklidische Geometrie mal die heutige Bedeutung erlangt hätte, wenn sie nicht durch physikalische Erfahrungen gestützt worden wäre, obwohl man sich rein mathematisch mit jedem beliebigen geometrischen Axiomensystem beschäftigen darf. Euklids "Elemente" behandeln nicht nur die Geometrie, sondern auch die Arithmetik. Aber das tun sie weit weniger sorgfältig als die Geometrie. Eine sorgfältige Axiomatik des Zählens und Rechnens findet sich erstmals bei Peano. Sind seine Axiome und Definitionen willkürliche Setzungen? Natürlich nicht!!! Sie beschreiben lediglich, wie man schon immer gezählt und gerechnet hat. Und dieses Zählen und Rechnen basiert auf der physikalischen Erfahrung mit der realen Welt. Es basiert auf der Erfahrung, dass man in der realen Welt unterscheidbare und damit zählbare Objekte findet. Wie wollte man Eier, Äpfel, Steine zählen, wenn es sie nicht als unterscheidbare Objekte gäbe. Wenn man die Eier aus einem Korb mit 2 Eiern und die Eier aus einem Korb mit 3 Eiern in einem Korb zusammenfügt, hat man einen Korb mit 5 Eiern. Ist das ein rein logische und damit auch mathematische Konsequenz? Nein, das ist es nicht! Das ist eine reine Erfahrungstatsache. Sie gilt auch nur in unserer makroskopischen Welt. In der quantenmechanischen Welt gilt das nicht mehr. Da kann das Zusammenfügen von 2 und 3 Quarks zu allerlei möglichen Zahlen von Quarks führen und manchmal auch zu 5 Quarks. Wenn man die ersten Axiomensysteme als axiomatische Beschreibung der realen Welt betrachtet, so führen die Fortschritte in der Mathematik zu Abstraktionen von Abstraktionen. Der Bezug zur realen Welt wird immer weniger ersichtlich und es ist nicht immer klar, ob es ihn noch immer gibt. Betrachten wir die Gruppentheorie. Das ist eine Abstraktion aus einer Vielzahl mathematischer Strukturen. Diese Strukturen oder ihre Eltern oder Großeltern basieren auf Abstraktionen der physikalischen Welt. Ist da ein Wunder, dass wir überall in der physikalischen Welt auf Gruppenstrukturen treffen. Das ist meine Auffassung zum Zusammenhang von Mathematik und Physik. Ich behaupte nicht, dass sie die allein richtige Auffassung ist. Man kann da aus meiner Sicht durchaus unterschiedlicher Meinung sein. |
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| 27.11.2019, 14:28 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mathematik und Physik sind Teile unseres Denkens, daher halte ich es nicht für sehr verwunderlich, dass Physik und Mathematik gut zusammenpassen. Dass die Realität sich unserem Denken gemäß verhält, darf bezweifelt werden. Eher verhält sich unser Denken so, dass es gelegentlich versucht, der Realität zu entsprechen. Huggy ist insoweit zuzustimmen, dass sich Mathematik historisch durch Abstraktion von realen Phänomenen entwickelt hat. Heute ist Mathematik allerdings nicht mehr an Realitäten gekoppelt sondern hat davon unabhängige Objekte und Strukturen geschaffen. Dass diese mathematischen Strukturen dann manchmal nützlich sind, wie beispielsweise die Theorie der Liegruppen im Standardmodell der Elementarteilchen, ist reiner Zufall. Sophus Lie hat sich nicht der Physik oder irgendeiner außermathematischen Realität wegen mit diesen Gruppen beschäftigt sondern ganz einfach, weil das ein interessanter Themenkomplex war. |
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| 27.11.2019, 15:12 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du bist zu großzügig. Da werden sich die Physiker (und erst die Physikerinnen) aber freuen. 
(Ich selbst bin weder Physiker noch Mathematiker, erlaube mir aber dennoch ungeniert den Umgang mit Zahlen und anderen Bereichen der Mathematik.)
Du verwendest hier den Begriff "existiert". Da würde mich interessieren, ob du damit eine objektive, also vom menschlichen Denken unabhängige Existenz (z.B. in einem objektiven platonischem Reich) meinst, oder ob du die Mathematik ausschließlich im menschlichen Geist verortest. Aus den bisherigen Äußerungen glaube ich letzteres heraus zu hören, kann mich aber auch täuschen. Anders gefragt: Sind z.B. Primzahlen Teil einer objektiven (wenn auch nicht physikalischen) Realität, oder existieren sie nur in unserem Geist? (Die Frage gilt auch Huggy und den anderen Mitlesern.) . |
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| 27.11.2019, 17:51 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
"Alle mathematischen Objekte sind Objekte in mathematischen Strukturen, sie sind Objekte des gemeinsamen Denkens, Redens und Schreibens von Mathematikern." ... und Mathematikerinnen. Mathematik besteht m.E. ausschließlich aus Gedanken, Worten, Symbolen und Bildern in Sprache und Schrift. Gedanken sind temporär in unserem Geist, also physische Prozesse im Gehirn, gesprochene Worte werden im Sprechakt erzeugt und als Nachricht durch Schallwellen übertragen, Schriftsymbole benötigen einen Datenträger um in der Raumzeit zu sein. Andere Welten sind mir nicht bekannt, insbesondere keine platonischen Reiche. P.S. Ich kenne Platon, aber ich schätze ihn nicht. |
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| 27.11.2019, 19:41 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mir auch nicht. Aber das ergibt für viele MathematikerInnen (und PhysikerInnen) gewisse Probleme. Die Argumentation der Platonisten geht dann folgendermaßen: 1. Es gibt viele mathematische Beweise für die Existenz unendlicher Mengen (z.B. es gibt (existieren) unendlich viele Primzahlen). Wenn diese unendlichen Mengen nur in unserem Geist existieren, dann muss da mächtig viel (genau genommen unendlich viel) Platz für all diese Zahlen sein. Das scheint unwahrscheinlich. 2. Sofern z.B. Primzahlen nur in unserem Geist existieren, dann gäbe es z.B. nach einer kosmischen Katastrophe mit völliger Vernichtung der menschlichen Zivilisation keine Primzahlen mehr. Existiert der Mond, auch wenn keiner hinschaut? Wie seht ihr das? . |
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| 27.11.2019, 22:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
1. Seit Euklid wissen wir, dass es mehr als endlich viele, also unendlich viele Primzahlen gibt, denn Euklid hat das bewiesen. Sie sind eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen, diese unendliche Struktur ist die Isomorphieklasse, die durch die Peano-Axiome zusammen mit Addition und Multiplikation definiert wird. Unendlich viele unendliche Strukturen passen perfekt in einen endlichen Geist, der nur die Definitionen und Sätze der Mathematik enthalten muss. Mathematische Objekte verdanken ihre Existenz nicht einer unmöglichen Aufzählung sondern einer möglichen Definition. Beispielsweise muss man nicht alle Dezimalziffern von pi aufzählen um pi zu kennen. 2. Wenn es keine MathematikerInnen und Datenträger mehr gibt, gibt es auch keine mathematischen Objekte und Strukturen mehr. 3. Der Mond als reales Objekt in der Raumzeit ist von anderen realen Objekten unabhängig, ganz sicher ist er von realen Lebewesen unabhängig. Die Zen-Buddhisten, die etwas anderes sagen, reden nicht über die physikalische Welt sondern über menschliche Psychologie. |
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| 28.11.2019, 08:37 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Darüber kann man trefflich philosophieren, ohne je zu einem abschließenden Ergebnis zu kommen. |
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| 28.11.2019, 09:14 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Im Grunde genommen bin ich bei dir. Aber erkennst du nicht den Widerspruch? Du verwendest Formulierungen und Begriffe wie: "es gibt unendlich viele"; "es existieren unendlich viele"... und gleichzeitig sagst du, es gibt sie doch nicht, sondern nur ein Rezept zu ihrer Erstellung. Wärst du zufrieden, wenn du ein Auto kaufen möchtest und der Verkäufer gibt dir nur einen Bauplan? Existiert die Brücke eines Architekten schon, wenn er sie nur auf dem Reißbrett entworfen hat, sie aber noch nicht in der Landschaft steht? Wäre es nicht konsequenter, wissenschaftlich korrekter, für jeden nachvollziehbarer, wenn man an Stelle von "es gibt" und "es existieren" sagen würde: "man kann berechnen, konstruieren, …"?
Darüber kann man streiten, weil eben genau die Begriffswahl "Existenz" in der Mathematik diesen Spielraum hergibt. Das führt dann für manche eben zu platonischen Reichen außerhalb der physikalischen Realität und im nächsten Schritt zu einer mystischen Verknüpfung beider "Realitäten". . |
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| 28.11.2019, 12:00 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Man kann Primzahlen weder berechnen noch konstruieren. Es ist nicht möglich, dass es endlich viele Primzahlen gibt, also gibt es unendlich viele Primzahlen. Es ist nicht möglich, dass es unendlich viele Primzahlen in endlich vielen natürlichen Zahlen gibt, also gibt es unendlich viele natürliche Zahlen. Man kann natürliche Zahlen weder berechnen noch konstruieren. Die Welt der Mathematik ist nicht die Welt der Autos und Brücken. Es gibt nur endlich viele Autos und Brücken, weil man nur endlich viele bauen kann, aber es gibt unendlich viele Unendlichkeiten, weil es nicht endlich viele geben kann. Die physikalische Welt der Materie ist anders als die logische Welt der Gedanken. Mathematische Objekte existieren, wenn man sie "hoffentlich widerspruchsfrei" definieren kann oder wenn man beweisen kann, dass ihre Nichtexistenz nicht möglich ist. |
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| 28.11.2019, 13:33 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich fürchte hier trennen sich unsere Wege. Mit "berechnen", "konstruieren" usw. sind immer aktive Handlungen des Menschen verbunden.
Man könnte das zweite Axiom vielleicht so formulieren: "Für jede natürliche Zahl n lässt sich ein Nachfolger n´ angeben." "angeben" impliziert wieder eine aktive Handlung des menschlichen Geistes. Der Nachfolger einer natürlichen Zahl wird somit erst Realität, wenn ihn jemand auch wirklich in irgendeiner Form angegeben hat und sei es nur in seinem Geist. Dort existiert sie dann physisch real in Form physikalisch-chemischer Vernetzungen, ebenso wie die Axiome und Definitionen. Wenn man die Zahl dagegen aufschreibt, existiert sie physisch real auf dem Papier allerdings nur in Verbindung mit einem menschlichem Geist, der das Geschriebene entsprechend interpretieren kann, ebenso wie die Axiome und Definitionen.
Man kann aber jede natürliche Zahl darauf hin prüfen, ob sie prim ist, oder nicht. Euklid könnte man also z.B. vielleicht so formulieren: "Das Produkt P aller bekannter Primzahlen+1 ist entweder selbst prim oder lässt sich in ein Produkt aus bisher unbekannten Primzahlen zerlegen." Wieder ist "lässt sich zerlegen" eine aktive Handlung. Die entsprechenden Primzahlen werden real, wenn man die Prüfung für P+1 oder die Zerlegung erfolgreich abgeschlossen hat. In diesem Sinne lassen sich Primzahlen sehr wohl berechnen. Man kann diese Prozesse (angeben von Nachfolgern, Euklid) theoretisch so lange fortführen, wie es die Zeit für den menschlichen Geist gestattet. . |
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| 28.11.2019, 14:00 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Einzelne mathematische Objekte wie einzelne natürliche Zahlen oder einzelne Primzahlen kann man symbolisch benennen durch oder mit Dezimalziffern (bitte prüfe mal eben, ob das wirklich eine Primzahl ist), aber man kann niemals, egal mit welchen Mitteln, alle natürlichen Zahlen oder alle Primzahlen berechnen, konstruieren, angeben oder wie auch immer Prozesse heißen mögen, die unendlich viele Objekte konkret erzeugen. Du hattest gefordert, dass man statt "es gibt" sagen sollte "man kann berechnen, konstruieren, …" . Ich sage nur, das kann man nicht. Deine philosophischen Gedanken sind uralt und mit moderner Mathematik (seit Cantor 1875) nicht verträglich. Dahinter steht die Angst des Aristoteles vor der Unendlichkeit und das jahrtausendelange Gelaber über "potentiell unendlich" und "aktual unendlich" ( https://de.wikipedia.org/wiki/Potentiell...e_Unendlichkeit ) |
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| 28.11.2019, 14:29 | Frankz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Man kann sie nicht berechnen, konstruieren, angeben... wenn man davon ausgeht, dass es unendlich viele gibt, d.h. ihre Existenz voraussetzt. Du selbst hast eine beliebige Existenz außerhalb der physikalischen Realität abgelehnt. Alle Axiome, Definitionen liegen in irgendeiner Form von physikalisch-chemischen Vernetzungen in unserem kollektiven Geist vor. Aber für die unendlich vielen natürlichen Zahlen postulierst du eine Existenz außerhalb dessen. Das ist widersprüchlich.
Zur damaligen Zeit hatte man noch kaum eine Vorstellung von der Arbeitsweise des menschlichen Geistes und die Vorstellung eines platonischen Reiches jenseits der physikalischen Realität und außerhalb des menschlichen Geistes war sehr verbreitet. Das wirkt mit den entsprechenden Folgen bis heute nach. Genau deshalb suchen doch bis heute auch manche gestandene Physiker nach einer mystischen Verbindung zwischen beiden Reichen. . |
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