Umformung für Konvergenz

26.11.2019, 16:27	Champ	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung für Konvergenz Meine Frage: Guten Tag ich bräuchte Hilfe bei einer Umformung einer Folge, um deren Konvergenz zu bestimmen. Die Folge ist gegeben mit c(n) = $\begin{eqnarray} n(\sqrt{1+n^-1} -1) \end{eqnarray}$ Nun, dass n^-1 könnte man zu einem Quadrat umwandeln...! Meine Ideen:* ... und mit weitern Umformungen komme ich schließlich auf: $\begin{eqnarray} \sqrt{n^2} \sqrt{1+1/n} -n \end{eqnarray}$ bis hin zu: $\begin{eqnarray} \sqrt{n^2+n} -n oder \sqrt{n(n+1)} -n \end{eqnarray}$ Ich schaffe es aber einfach nicht so umzuformen um deinen Grenzwert ablesen zu können. Bräuchte evtl. nur einen kleinen Tipp. MFG
26.11.2019, 16:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das LaTeX ist ziemlich verunglückt. Den Angaben unter "Meine Ideen" nach meinst du $\begin{eqnarray} c(n) = n\cdot \left(\sqrt{1+n^{-1}}-1\right) \end{eqnarray}$ . Nutze die dritte binomische Formel per passender Erweiterung: $\begin{eqnarray} c(n) = n\cdot \frac{\left(\sqrt{1+n^{-1}}-1\right)\left(\sqrt{1+n^{-1}}+1\right)}{\left(\sqrt{1+n^{-1}}+1\right)} = n\cdot \frac{1+n^{-1}-1}{\sqrt{1+n^{-1}}+1}= \frac{1}{\sqrt{1+n^{-1}}+1} \end{eqnarray}$ Der Grenzwert dieses letzteren Terms für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ sollte leicht abzulesen sein.
26.11.2019, 16:40	Champ	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja jetzt sehe ich es auch mit dem Latex, entschuldigung. Sie haben meine Folge korrekt aufgefasst. Danke für Ihre Hilfestellung. Demnach ist der Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Dankeschön!

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