Differenzierbarkeit im R^2

26.11.2019, 18:41

Please_Helpme

Differenzierbarkeit im R^2

Meine Frage:
Hallo, wie zeige ich nach, dass die folgende Funktion in ALLEN Punkten xER^2 differenzierbar ist: f: R^2->R:

f(x)=|x|^3*sin (1/(|x|^2) für x ungleich 0, für x=0 ist die funktion 0.

Meine Ideen:
Ich hätte zunächst den fall x=0 betrachtet, hier ist die funktion offensichtlich differenzierbar.

Im Fall x ungleich 0:
leider bin ich mir hier unsicher, da wir uns im R^2 befinden

26.11.2019, 19:38

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit im R^2

Zitat:

Original von Please_Helpme
Ich hätte zunächst den fall x=0 betrachtet, hier ist die funktion offensichtlich differenzierbar.

Im Fall x ungleich 0:
leider bin ich mir hier unsicher, da wir uns im R^2 befinden

Ist es nicht eher umgekehrt? Im Falle $\begin{align*} x \neq 0 \end{align*}$ garantieren die üblichen eindimensionalen Ableitungsregeln die partielle Differenzierbarkeit nach jeder Variablen. Da die partiellen Ableitungen auch noch stetig sind, ist die Funktion nach einem klassischen Satz differenzierbar. Die Sache ist damit erledigt.

Nur der Fall $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ist daher von Interesse. Gesucht ist somit ein Zeilenvektor $\begin{align*} a \end{align*}$ (der Gradient), so daß

$\begin{align*} \frac{\left\| f(0+h) - f(0) - ah \right\|}{\left\| h \right\|} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ h \to 0 \end{align*}$

Dabei ist $\begin{align*} h \end{align*}$ ein Spaltenvektor, so daß $\begin{align*} 0 \neq \left\| h \right\| \end{align*}$ genügend klein ist. Die mit Doppelstrichen bezeichnete Norm ist beliebig wählbar, man darf zum Beispiel die euklidische Norm nehmen, die mit Einfachstrichen bezeichnet werde. Dann geht es um den Term

$\begin{align*} \frac{\left| f(h) - ah \right|}{|h|} = \frac{\left| |h|^3 \sin \left( \frac{1}{|h|^2} \right) - ah \right|}{|h|} \end{align*}$

Und hierin mußt du jetzt $\begin{align*} a \end{align*}$ so bestimmen, daß dieser Ausdruck beliebig klein wird, wenn $\begin{align*} |h| \end{align*}$ beliebig klein wird. Einfach $\begin{align*} a \end{align*}$ geschickt raten. Manchmal ist es das Naheliegende.

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierbarkeit im R^2

Verwandte Themen