Unendliche Reihe = 0

26.11.2019, 23:19

Wildeisen

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Unendliche Reihe = 0

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hätte da mal eine ganz kurze Frage...

Stimmt das, dass wenn unendliche Reihen 0 ergeben, man daraus folgern muss, dass jeder einzelne Summand dieser Reihe gleich 0 ist?

z.B. wenn gilt
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{n=1}^{\infty}A_m(sin(\lambda_m x) = 0<br /> \end{eqnarray*}$

man daraus folgern kann:
$\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow A_m(sin(\lambda_m x) = 0 \,\,\, \forall m \in \mathbb(N)<br /> \end{eqnarray*}$

Speziell für diese Reihe scheint das laut Literatur ja schon zu gehen ...

Bin offen für Gegenspiele oder Bestätigung smile

smile

Meine Ideen:
Ich würde sagen ja, weil jede andere Reihe, wo die Summe ungleich 0 ist, immer einem gewissen Muster folgt und automatisch Summanden ungleich 0 hat, die sich nie wegheben können.

Die Reihe 1-1+1-1+1-1+1 ... divergiert ja auch (und ist damit ungleich 0, die Summanden heben sich also nicht weg)

27.11.2019, 00:27

Helferlein

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Nein, das stimmt nicht und es ist nicht einmal schwer Gegenbeispiele zu finden.

Es ist beispielsweise $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k + \sum_{k=2n+1}^{\infty} 0 =0 \end{eqnarray*}$ , obwohl die ersten 2n-Summanden nicht Null sind.

Oder man nimmt sich eine beliebige konvergente Reihe mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} r(k) = g \end{eqnarray*}$ und betrachtet die Reihe $\begin{eqnarray*} r^*(k) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r^*(1)=g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r^*(k+1)=-r(k) \end{eqnarray*}$ .

27.11.2019, 06:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Wildeisen
z.B. wenn gilt
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{n=1}^{\infty}A_m(sin(\lambda_m x) = 0<br /> \end{eqnarray*}$

man daraus folgern kann:
$\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow A_m(sin(\lambda_m x) = 0 \,\,\, \forall m \in \mathbb(N)<br /> \end{eqnarray*}$

Scheint so, als hast du "vergessen", wichtige Voraussetzungen zu nennen:

1) Für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ soll diese erste Gleichung gelten? Ich könnte mir vorstellen, dass das sogar alle (!) reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sind. (*)

2) Was weiß man über die $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ ? Sobald z.B. auch nur zwei dieser $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ betragsgleich sind, ist deine Schlussfolgerung selbst unter (*) falsch.

27.11.2019, 15:45

Wildeisen

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Unendliche Reihe = 0 (Antwort)
Hallo,

ein etwas größerer Kontext ist, dass es $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ gerade herauszufinden gilt und
zwar unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}A_m sin(\lambda_m L) = 0 \end{eqnarray*}$ (**). Habe vergessen zu erwähnen, dass hier explizit $\begin{eqnarray*} x = L \end{eqnarray*}$ gilt. Weiter ist $\begin{eqnarray*} A_m \in \mathbb{R} \, \, \forall m \end{eqnarray*}$ .
Die Literatur folgert aus (**), dass $\begin{eqnarray*} sin(\lambda_m L) = 0 \, \, \forall m \end{eqnarray*}$ , woraus man dann auch leicht erhält: $\begin{eqnarray*} \lambda_m = \frac{m \pi}{L}, \, \, m = 1,2,3, \dots \end{eqnarray*}$ .

Dabei würde ich gerne den einen Zwischenschritt (Folgerung der Literatur aus (**)) verstehen.

27.11.2019, 16:43

Wildeisen

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RE: Unendliche Reihe = 0 (Antwort)
So, da die Edit-Funktion leider irgendwie nicht geht (habe immer noch 15-Minuten-Sperre ...), schreib ich meine gewünschte Änderung einfach nun hier als Antwort:

Habe für (**) eigentlich gemeint:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{m=1}^{\infty}[A_msin(\lambda_m L)]e^{-\lambda_m^2 Dt} = 0<br /> \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} D > 0, \, t > 0 \end{eqnarray*}$

Zudem würde ich gerne noch diese Folgerung verstehen:
Aus
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{m=1}^{\infty}B_me^{-\lambda_m^2 Dt} = 0, \, \, \, B_m \in \mathbb{R}<br /> \end{eqnarray*}$
folgert man laut Literatur
$\begin{eqnarray*} <br /> B_m = 0 \forall m<br /> \end{eqnarray*}$

Würde mich freuen, wenn mir da noch wer weiterhelfen kann smile

smile

27.11.2019, 19:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Wildeisen
Würde mich freuen, wenn mir da noch wer weiterhelfen kann

Die Aussichten dafür sind sehr schlecht, solange du wild die Formeln veränderst und zudem immer noch nicht klar ist, welche Parameter fest vorgegeben sind (vielleicht $\begin{eqnarray*} \lambda_m,L,D \end{eqnarray*}$ ), und ob die Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ gilt oder nur für eins, oder ...

Es nervt nämlich ungemein, immer und immer wieder nachbohren zu müssen, bis endlich mal alle Karten auf dem Tisch liegen. Das machen die Leute nicht gern, und deswegen hast du auch bis jetzt keine weitere Antwort bekommen.

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27.11.2019, 21:43

Ulrich Ruhnau

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RE: Unendliche Reihe = 0

Zitat:

Original von Wildeisen
Stimmt das, dass wenn unendliche Reihen 0 ergeben, man daraus folgern muss, dass jeder einzelne Summand dieser Reihe gleich 0 ist?

z.B. wenn gilt
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{n=1}^{\infty}A_m(sin(\lambda_m x) = 0<br /> \end{eqnarray*}$

man daraus folgern kann:
$\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow A_m(sin(\lambda_m x) = 0 \,\,\, \forall m \in \mathbb(N)<br /> \end{eqnarray*}$

Ich würde das nicht so scharf formulieren. Man kann sich gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergente Reihen vorstellen, deren Summanden niemals gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sind und die trotzdem gegen 0 konvergieren. Die Summanden müßten nur mindestens einmal das Vorzeichen wechseln.

Angenommen wir hätten die endliche Summe $\begin{eqnarray*} S_n(x)=\sum_{m=1}^{n}A_m \sin(\lambda_m x) \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} A_m \end{eqnarray*}$ feste Koeffizienten sind.

Dann würde ich davon ausgehen, daß wenn $\begin{eqnarray*} S_n(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen null geht, auch die Summanden gegen null gehen werden. Ich will versuchen, das mittels der Definition der Konvergenz zu zeigen. Die Folge $\begin{eqnarray*} S_n(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} S(x) \end{eqnarray*}$ wenn:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0\, \exists \, n_0\in \mathbb N \,\forall \, n\geq n_0\big|| S_n(x)-S(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Man könnte sich ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ suchen, das betragsmäßig einem Summanden entspricht. Dann findet man rechts davon ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ stets unendliche (Teil-) Reihen deren Beträge kleiner sind als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ sofern $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}S_n(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Damit die Schwankungen von einem $\begin{eqnarray*} S_n(x) \end{eqnarray*}$ zum nächsten $\begin{eqnarray*} S_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$ nicht zu groß werden, dürfen die Summanden betragsmäßig nicht größer sein als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . D.h. auch die Summanden gehen gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Antwort:
Es stimmt, dass wenn unendliche Reihen 0 ergeben, man daraus folgern muss, dass die Summanden dieser Reihen gegen 0 gehen.

27.11.2019, 22:39

Ulrich Ruhnau

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RE: Unendliche Reihe = 0

Zitat:

Original von Wildeisen
Meine Frage:
Stimmt das, dass wenn unendliche Reihen 0 ergeben, man daraus folgern muss, dass jeder einzelne Summand dieser Reihe gleich 0 ist?

z.B. wenn gilt
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{n=1}^{\infty}A_m(sin(\lambda_m x) = 0<br /> \end{eqnarray*}$

man daraus folgern kann:
$\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow A_m(sin(\lambda_m x) = 0 \,\,\, \forall m \in \mathbb(N)<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt beginne ich erst zu ahnen, was der Fragesteller gemeint haben könnte. Angenommen, die $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ seinen äquidistant und man könnte ein x finden mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \lambda_m x = \pi m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Für dieses x sind nicht nur die Summanden gleich null, sondern auch die ganze Summe.

Es ergibt sich jetzt die Frage, ob man die $\begin{eqnarray*} A_m \end{eqnarray*}$ so böse auswählen kann, daß wenn die Reihe gleich null ist, die Summanden doch nicht alle gleich null sind. Dazu habe ich mir die Formelsammlung von Karl Rottmann angeschaut und unter den Fourierschen Reihen die folgende Formel gefunden:

$\begin{eqnarray*} \sin ax=\frac{2}{\pi}\sin a\pi \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n^2-a^2}n\sin nx \end{eqnarray*}$

Jetzt wähle ich einfach $\begin{eqnarray*} x=1, a=\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_m=n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ damit ich den Vergleich zu $\begin{eqnarray*} 0=\sum\limits_{m=1}^{\infty} A_m \sin \lambda_m x \end{eqnarray*}$ ziehen kann. Die Rottmann-Formel verändert sich zu:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{2}{\pi}\sin \pi^2 \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n^2-\pi^2}n\sin n \end{eqnarray*}$ Das bedeutet, daß Konstellationen von $\begin{eqnarray*} A_m, \lambda_m, x \end{eqnarray*}$ möglich sind, unter denen die Reihe gleich null ist, aber die Summanden nicht verschwinden.

$\begin{eqnarray*} 0=\sum\limits_{m=1}^{\infty} A_m \sin \lambda_m x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_m \sin \lambda_m x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist auch diese Frage beantwortet.

28.11.2019, 00:26

Wildeisen

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Unendliche Reihe = 0

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Wildeisen
Würde mich freuen, wenn mir da noch wer weiterhelfen kann

Die Aussichten dafür sind sehr schlecht, solange du wild die Formeln veränderst und zudem immer noch nicht klar ist, welche Parameter fest vorgegeben sind (vielleicht $\begin{eqnarray*} \lambda_m,L,D \end{eqnarray*}$ ), und ob die Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ gilt oder nur für eins, oder ...

Es nervt nämlich ungemein, immer und immer wieder nachbohren zu müssen, bis endlich mal alle Karten auf dem Tisch liegen. Das machen die Leute nicht gern, und deswegen hast du auch bis jetzt keine weitere Antwort bekommen.

Ok, sorry für die noch verbliebenen Unklarheiten.

$\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ sind feste, positive, reelle Werte. Die Formeln gelten $\begin{eqnarray*} \forall \, \, t > 0 \end{eqnarray*}$ . Die diskreten $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ sind unbekannte, reelle Werte, die ich aber letztendlich suche (unter anderem).

Ziel ist die Lösung der Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} <br /> D \cdot \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{\partial C}{\partial t} \\<br /> \end{eqnarray*}$
per Separationsansatz $\begin{eqnarray*} C(x,t) = X(x) \cdot T(t) \end{eqnarray*}$ .

Als Anfangs- und Randbedingungen sind gegeben
$\begin{eqnarray*} <br /> C = C_0, \text{ } \, \, 0 < x < L, \text{ } \, \, t = 0 \\<br /> C = 0, \text{ } \, \, x = 0, \text{ } \, \, t > 0 \\<br /> C = 0, \text{ } \, \, x = L, \text{ } \, \, t > 0 \\<br /> \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} C = C(x,t) \end{eqnarray*}$ die gesuchte Lösung und $\begin{eqnarray*} C_0 > 0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Dadurch ergeben sich letztendlich
$\begin{eqnarray*} <br /> C(0,t) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}B_me^{-\lambda_m^2Dt} = 0 \\<br /> C(L,t) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}[A_m sin(\lambda_m L) + B_m cos(\lambda_m L)]e^{-\lambda_m^2Dt} = 0 \\<br /> C(x,0) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}[A_m sin(\lambda_m x) + B_m cos(\lambda_m x)] = C_0 <br /> \end{eqnarray*}$

Ich suche die $\begin{eqnarray*} A_m, B_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ .
Klar, man könnte passende $\begin{eqnarray*} B_m \end{eqnarray*}$ und damit die $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ auch einfach "raten". Aber geht das mit diesen beiden auch irgendwie streng analytisch ohne "raten"?

So, ich müsste bei der Darlegung jetzt aber echt auf alles geachtet haben.
Wenn trotzdem noch irgendwie etwas fehlen sollte oder unklar ist, bitte einfach Bescheid geben.

28.11.2019, 00:33

Wildeisen

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RE: Unendliche Reihe = 0

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

Zitat:

Original von Wildeisen
Meine Frage:
Stimmt das, dass wenn unendliche Reihen 0 ergeben, man daraus folgern muss, dass jeder einzelne Summand dieser Reihe gleich 0 ist?

z.B. wenn gilt
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{n=1}^{\infty}A_m(sin(\lambda_m x) = 0<br /> \end{eqnarray*}$

man daraus folgern kann:
$\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow A_m(sin(\lambda_m x) = 0 \,\,\, \forall m \in \mathbb(N)<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt beginne ich erst zu ahnen, was der Fragesteller gemeint haben könnte. Angenommen, die $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ seinen äquidistant und man könnte ein x finden mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \lambda_m x = \pi m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Für dieses x sind nicht nur die Summanden gleich null, sondern auch die ganze Summe.

Es ergibt sich jetzt die Frage, ob man die $\begin{eqnarray*} A_m \end{eqnarray*}$ so böse auswählen kann, daß wenn die Reihe gleich null ist, die Summanden doch nicht alle gleich null sind. Dazu habe ich mir die Formelsammlung von Karl Rottmann angeschaut und unter den Fourierschen Reihen die folgende Formel gefunden:

$\begin{eqnarray*} \sin ax=\frac{2}{\pi}\sin a\pi \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n^2-a^2}n\sin nx \end{eqnarray*}$

Jetzt wähle ich einfach $\begin{eqnarray*} x=1, a=\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_m=n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ damit ich den Vergleich zu $\begin{eqnarray*} 0=\sum\limits_{m=1}^{\infty} A_m \sin \lambda_m x \end{eqnarray*}$ ziehen kann. Die Rottmann-Formel verändert sich zu:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{2}{\pi}\sin \pi^2 \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n^2-\pi^2}n\sin n \end{eqnarray*}$ Das bedeutet, daß Konstellationen von $\begin{eqnarray*} A_m, \lambda_m, x \end{eqnarray*}$ möglich sind, unter denen die Reihe gleich null ist, aber die Summanden nicht verschwinden.

$\begin{eqnarray*} 0=\sum\limits_{m=1}^{\infty} A_m \sin \lambda_m x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_m \sin \lambda_m x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist auch diese Frage beantwortet.

Ui, das ist auch nicht schlecht. geschockt

geschockt

Vielen Dank! Freude

Freude

Dennoch ist meine eigentliche Intention hinter meinem Post eine andere gewesen. Siehe auch meinen vorherigen Beitrag bzw. meine letzte Antwort an HAL 9000.

28.11.2019, 00:36

Ulrich Ruhnau

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RE: Unendliche Reihe = 0 (Antwort)

Zitat:

Original von Wildeisen
Zudem würde ich gerne noch diese Folgerung verstehen:
Aus
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{m=1}^{\infty}B_me^{-\lambda_m^2 Dt} = 0, \, \, \, B_m \in \mathbb{R}<br /> \end{eqnarray*}$
folgert man laut Literatur
$\begin{eqnarray*} <br /> B_m = 0 \forall m<br /> \end{eqnarray*}$

Würde mich freuen, wenn mir da noch wer weiterhelfen kann smile

smile

Nun denn, ganz einfach. Aus $\begin{eqnarray*} \lambda_m, D,t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda_m^2 Dt} > 0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann die Summe nur noch null sein, wenn die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} B_m \end{eqnarray*}$ gleich null sind.

28.11.2019, 00:44

Wildeisen

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RE: Unendliche Reihe = 0 (Antwort)

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

Zitat:

Original von Wildeisen
Zudem würde ich gerne noch diese Folgerung verstehen:
Aus
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{m=1}^{\infty}B_me^{-\lambda_m^2 Dt} = 0, \, \, \, B_m \in \mathbb{R}<br /> \end{eqnarray*}$
folgert man laut Literatur
$\begin{eqnarray*} <br /> B_m = 0 \forall m<br /> \end{eqnarray*}$

Würde mich freuen, wenn mir da noch wer weiterhelfen kann smile

smile

Nun denn, ganz einfach. Aus $\begin{eqnarray*} \lambda_m, D,t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda_m^2 Dt} > 0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann die Summe nur noch null sein, wenn die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} B_m \end{eqnarray*}$ gleich null sind.

Und hier können wirklich keine bösen $\begin{eqnarray*} B_m \end{eqnarray*}$ so gewählt werden (die im Vorzeichen ja auch alternieren könnten), dass Summanden ungleich Null vorkommen, obwohl die ganze Reihe gleich Null ist?

Bei den $\begin{eqnarray*} A_m \end{eqnarray*}$ von vorhin konntest du ja auch was finden ^^

28.11.2019, 01:20

Ulrich Ruhnau

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RE: Unendliche Reihe = 0
Na wunderbar! Hier handelt es sich um ein Diffusionsproblem. Die Differentialgleichung bezeichnet man auch als Ficksches Gesetz. Die Konstante D ist der Diffusionskoeffizient. Die Formel gibt an, wie sich die Konzentration einer Substanz oder Temperatur in Abhängigkeit von ihrer Verteilung mit der Zeit ändert. Die angegebene Lösung ist als Fourierreihe dargestellt. Man stelle sich ein mit einer Substanz gefülltes Rohr der Länge L vor, das an seinen Enden zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ geöffnet wird und auf beiden Seiten Substanz verliert.

28.11.2019, 10:26

Ulrich Ruhnau

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RE: Unendliche Reihe = 0

Zitat:

Original von Wildeisen

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Wildeisen
Würde mich freuen, wenn mir da noch wer weiterhelfen kann

Die Aussichten dafür sind sehr schlecht, solange du wild die Formeln veränderst und zudem immer noch nicht klar ist, welche Parameter fest vorgegeben sind (vielleicht $\begin{eqnarray*} \lambda_m,L,D \end{eqnarray*}$ ), und ob die Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ gilt oder nur für eins, oder ...

Es nervt nämlich ungemein, immer und immer wieder nachbohren zu müssen, bis endlich mal alle Karten auf dem Tisch liegen. Das machen die Leute nicht gern, und deswegen hast du auch bis jetzt keine weitere Antwort bekommen.

Ok, sorry für die noch verbliebenen Unklarheiten.

$\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ sind feste, positive, reelle Werte. Die Formeln gelten $\begin{eqnarray*} \forall \, \, t > 0 \end{eqnarray*}$ . Die diskreten $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ sind unbekannte, reelle Werte, die ich aber letztendlich suche (unter anderem).

Ziel ist die Lösung der Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} <br /> D \cdot \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{\partial C}{\partial t} \\<br /> \end{eqnarray*}$
per Separationsansatz $\begin{eqnarray*} C(x,t) = X(x) \cdot T(t) \end{eqnarray*}$ .

Als Anfangs- und Randbedingungen sind gegeben
$\begin{eqnarray*} <br /> C = C_0, \text{ } \, \, 0 < x < L, \text{ } \, \, t = 0 \\<br /> C = 0, \text{ } \, \, x = 0, \text{ } \, \, t > 0 \\<br /> C = 0, \text{ } \, \, x = L, \text{ } \, \, t > 0 \\<br /> \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} C = C(x,t) \end{eqnarray*}$ die gesuchte Lösung und $\begin{eqnarray*} C_0 > 0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Dadurch ergeben sich letztendlich
$\begin{eqnarray*} <br /> C(0,t) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}B_me^{-\lambda_m^2Dt} = 0 \\<br /> C(L,t) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}[A_m sin(\lambda_m L) + B_m cos(\lambda_m L)]e^{-\lambda_m^2Dt} = 0 \\<br /> C(x,0) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}[A_m sin(\lambda_m x) + B_m cos(\lambda_m x)] = C_0 <br /> \end{eqnarray*}$

Ich suche die $\begin{eqnarray*} A_m, B_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ .
Klar, man könnte passende $\begin{eqnarray*} B_m \end{eqnarray*}$ und damit die $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ auch einfach "raten". Aber geht das mit diesen beiden auch irgendwie streng analytisch ohne "raten"?

So, ich müsste bei der Darlegung jetzt aber echt auf alles geachtet haben.
Wenn trotzdem noch irgendwie etwas fehlen sollte oder unklar ist, bitte einfach Bescheid geben.

Fangen wir mal mit der ersten Randbedingung an.

$\begin{eqnarray*} C(0,t) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}B_me^{-\lambda_m^2Dt} = 0 \end{eqnarray*}$

Weil diese Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gilt (und das wußten wir vorher nicht), gilt $\begin{eqnarray*} B_m=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t, m \end{eqnarray*}$ . Nun zu zweiten Randbedingung:

$\begin{eqnarray*} C(L,t) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}A_m \sin(\lambda_m L) e^{-\lambda_m^2Dt} = 0 \end{eqnarray*}$

Damit diese Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gilt, setze ich an: $\begin{eqnarray*} \lambda_m L=m\pi \end{eqnarray*}$ Und dann bekomme ich eine Fourierreihe. Die letzte Randbedingung sagt uns, das am Anfang die Konzentration überall gleich gewesen ist.

$\begin{eqnarray*} C(x,0) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}A_m \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) = C_0 \end{eqnarray*}$

Nun muß der Lösungsansatz

$\begin{eqnarray*} C(x,t) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}A_m(t) \sin(\lambda_m x)e^{-\lambda_m^2Dt} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_m=\frac{m\pi}{L} \end{eqnarray*}$ in die Diffussionsgleichung eingesetzt werden. $\begin{eqnarray*} D \cdot \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{\partial C}{\partial t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2}\sum\limits_{m=1}^{\infty}A_m(t) \sin(\lambda_m x)e^{-\lambda_m^2Dt} = \frac{\partial}{\partial t}\sum\limits_{m=1}^{\infty}A_m(t) \sin(\lambda_m x)e^{-\lambda_m^2Dt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D \cdot \sum\limits_{m=1}^{\infty}A_m(t)(-\lambda_m^2) \sin(\lambda_m x)e^{-\lambda_m^2Dt} = \sum\limits_{m=1}^{\infty}\left(\dot{A}_m(t)-\lambda_m^2DA_m(t)\right) \sin(\lambda_m x)e^{-\lambda_m^2Dt} \end{eqnarray*}$

Weil die letzte Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gelten muß, gilt:

$\begin{eqnarray*} -\lambda_m^2 D A_m(t) = \dot{A}_m(t)-\lambda_m^2DA_m(t) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} 0 = \dot{A}(t) \end{eqnarray*}$ was soviel bedeutet, daß die $\begin{eqnarray*} A_m \end{eqnarray*}$ wider meines eigenen Erwartens zeitlich konstant sind. Mit der dritten Randbedingung ließen sich die $\begin{eqnarray*} A_m \end{eqnarray*}$ noch dergestalt bestimmen, daß ein Rechteckprofil entsteht. Dieses Profil würde meiner ersten Vorstellung nach bis zum Ende bleiben, außer daß es nach unten schrumpft.
Ich hätte gedacht, daß aus dem Rechteckprofil ein symmetrisches Trapezprofil wird. Das setzt sich so lange fort, bis ein symmetrisches Dreieckprofil erreicht wird, dessen Höhe langsam nach unten geht. Nachdem ich etwas darüber nachgedacht habe, fällt mir auf, daß die $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ für ein unterschiedliches Zeitverhalten der Summanden verantwortlich sind. Das reist alles wieder raus. Jetzt müssen nur noch die $\begin{eqnarray*} A_m \end{eqnarray*}$ bestimmt werden und dann steht die Lösung da. Wildeisen, kannst Du das selber, oder soll ich das auch vorrechnen?

01.12.2019, 08:24

Ulrich Ruhnau

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RE: Unendliche Reihe = 0
Leider hat sich Wildeisen nicht mehr gemeldet. Der Vollständigkeit wegen würde ich den Rest noch gerne abschließen. Ich schrieb zuletzt:

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Die letzte Randbedingung sagt uns, daß am Anfang die Konzentration überall gleich gewesen ist.

$\begin{eqnarray*} C(x,0) &= \sum\limits_{m=1}^{\infty}A_m \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) = C_0 \end{eqnarray*}$

Um als letztes die $\begin{eqnarray*} A_m \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, nehme ich die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \end{eqnarray*}$ mal.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^{\infty}A_m \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) = C_0\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \end{eqnarray*}$

Dieser Ausdruck muß in den Grenzen von $\begin{eqnarray*} -L \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ über x integriert werden, sodaß eine vollständige Periode erfaßt wird.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^{\infty}A_m \int\limits_{-L}^{L} \! \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \, dx = C_0\int\limits_{-L}^{L} \!\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \, dx \end{eqnarray*}$

Für die Berechnung des linken Integrals gibt es für $\begin{eqnarray*} m,k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ zwei Fälle zu unterscheiden.

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-L}^{L} \! \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \, dx =\begin{cases} L, & \text{wenn }m=k\\ 0, & \text{wenn }m\ne k\end{cases} \end{eqnarray*}$ Eingesetzt ergibt das: $\begin{eqnarray*} A_k L = 2 C_0\int\limits_{0}^{L} \!\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_k L = -2 C_0\frac{L}{k\pi} \cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\Big|_0^L \end{eqnarray*}$ Wobei der Faktor $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ durch den Umstand kommt, daß wir eine Rechteckfunktion mit Mittelwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ vorliegen haben.

$\begin{eqnarray*} A_k = \frac{2 C_0}{k\pi} (1-\cos(k\pi)) \end{eqnarray*}$ D.h. $\begin{eqnarray*} A_k = \begin{cases}\frac{4 C_0}{k\pi} & \text{für } k \text{ ungerade}\\ 0 & \text{für }k\text{ gerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Der nachfolgende Matlab-Plot stellt die Konzentration in den ersten drei Sekunden unterteilt in 60 Schritte dar (Linien von oben nach unten $\begin{eqnarray*} C_0=1, D=1, L=1 \end{eqnarray*}$ ). Man erkennt, wie die Konzentration mit der Zeit verloren geht, weil die Substanz nach links und rechts wegdiffundiert.
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function [ c ] = difu( x,t,n )
%Berechnung der Konzentration beim Diffusionsproblem (Roehre)
% x = Ort
% t = Zeit
% n = Maximum k der Fourier-Reihe
% c = Konzentration der diffundierenden Substanz
x=x(:);
t=t(:);
c = zeros(length(x),length(t));
for m=1:2:n
    c=c+sin(m*pi*x)*exp(-m^2*t')/m;
end
figure(1)
c=c*(4/pi);
plot(x,c)
grid on
s1 = num2str(t(end)-t(1));
s2 = num2str(length(t)-1);
title(['Diffusion - die ersten ',s1,' sec. unterteilt in ',s2,' Schritte'])
xlabel('x')
ylabel('Konzentration')
end

Dieser Matlab-Code wird aufgerufen durch:
>> x=linspace(0,1,1001);
>> t=linspace(0,3,61);
>> c=difu(x,t,501);

01.12.2019, 17:51

Wildeisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Unendliche Reihe = 0 (Antwort)
Hallo!

Leider konnte ich mich jetzt erst wieder melden und die Sache hatte sich ohnehin bereits erledigt!

Dennoch vielen Dank noch für den ausführlichen und sicherlich auch bereichernden Beitrag! smile

smile

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