Beweis Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

27.11.2019, 10:42

Ullrakelix

Beweis Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Meine Frage:
Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstehe. In welcher Relation steht der Index I zu der Teilmenge des Vektorraums? Ist das ein Vektor oder eine Zahl?

Meine Ideen:
Wenn ai ein Vektor ist und nicht der Nullvektor und so groß ist wie die Summe der restlichen Vektoren, so kann ich durch subtrahieren den Nullvektor ausrechnen, ist das der Ansatz? Für Erklärungen oder gleich ein Beweis wäre ich sehr dankbar!!

27.11.2019, 10:51

klarsoweit

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RE: Beweis Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Zitat:

Original von Ullrakelix
In welcher Relation steht der Index I zu der Teilmenge des Vektorraums? Ist das ein Vektor oder eine Zahl?

Ein Index ist ein Element einer Indexmenge, die wiederum typischerweise eine Teilmenge der natürlichen Zahlen (wahlweise auch incl. Null) ist.

Zitat:

Original von Ullrakelix
Wenn ai ein Vektor ist und nicht der Nullvektor und so groß ist wie die Summe der restlichen Vektoren, so kann ich durch subtrahieren den Nullvektor ausrechnen, ist das der Ansatz?

Im Prinzip eine ausbaufähige Überlegung. Jetzt mußt du das zu einem ordentlichen Beweis ausarbeiten. Und da das übt (und auch Sinn der Aufgabe ist), solltest du das auch selbst machen. Gerne werden wir das begleiten.

Hilfreich sind dabei auch einschlägige Kenntnisse von Definitionen wie z. B. die Definition der linearen Abhängigkeit.

27.11.2019, 18:43

Ulrich Ruhnau

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RE: Beweis Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a_i} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig, wenn es einen Satz $\begin{eqnarray*} (\lambda_i) \end{eqnarray*}$ gibt für den gilt

$\begin{eqnarray*} 0=\sum\limits_{i=1}^{r} \lambda_i \vec{a_i} \end{eqnarray*}$

wobei nicht alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \end{eqnarray*}$ sein dürfen.

So ein Satz ist aber durch die Aufgabenstellung vorgegeben. Da steht

$\begin{eqnarray*} \vec{a_i}=\sum\limits_{j=1,j\neq i}^{r} \lambda_j \vec{a_j} \end{eqnarray*}$

Da muß man den linken Ausdruck nur noch auf die rechte Seite bringen und der Summe hinzufügen.

$\begin{eqnarray*} 0=\sum\limits_{j=1}^{r} \lambda_j\vec{a_j} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_i=-1 \end{eqnarray*}$ womit alle Voraussetzungen für die lineare Abhängigkeit erfüllt sein müßten.

Ob die Schreibweise formal so ausreicht, weiß ich nicht zu garantieren, aber wenn nicht, werden die anderen sich schon melden.

28.11.2019, 08:31

klarsoweit

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RE: Beweis Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
Leider ist dieser Beitrag quasi zu 98% eine Komplettlösung. Schade, denn es war ja eigentlich der Sinn der Aufgabe, sich mit den Definitionen zu beschäftigen und diese auf eine konkrete Aufgabe anzuwenden. geschockt

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