Die Wurzel und ihre Funktion

27.11.2019, 15:45

Mois sein Oppa

Die Wurzel und ihre Funktion

Meine Frage:
Mashalla, Mishalla, Mushalla, meine libben friends!
Es kam, dass ich letztens eine Mathearbeit schrieb.
Thema waren die Potenzgesetze und Wurzelgleichungen.
Es gab folgende Aufgabe:
16^(1/4) = ?
Meine Antwort war + oder - 2.
Falsch! Das wurde mit dem Definitionsbereich von f(x) = x^(1/2) begründet.
ABER: Warum wurde uns überhauot beigebracht, dass es bei geraden Wurzeln 2 Lösungen gibt? Warum ist das + oder - bei meinem Bruder der a-b-c-Formel, die ja z.B. bei einer kinematischen Gleichung für konstante Beschleunigung* benutzt wird?

Ehre an euch alle,
Mois sein Oppa!

*x = (x_0) + (v_0)t + (1/2)a(t^2) für die Interessierten

Meine Ideen:
Marshalla, keine Ahnung

27.11.2019, 16:49

Iorek

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Es gibt einen Unterschied zwischen der Wurzel einer Zahl und der Lösung einer quadratischen Gleichung.

Die Wurzel einer Zahl $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist definiert als die eindeutige positive Zahl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y^2=x \end{eqnarray*}$ . Die Wurzel einer Zahl ist somit eindeutig festgelegt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{4}=2 \end{eqnarray*}$ . Das lässt sich dann sehr einfach auf die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel verallgemeinern, wenn man $\begin{eqnarray*} y^n=x \end{eqnarray*}$ fordert. Auch hier wieder: die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ te-Wurzel einer Zahl ist eindeutig als die positive Lösung dieser Gleichung festgelegt.

Wo kommen Wurzeln nun zur Anwendung? In der Schule zunächst einmal natürlich beim Lösen quadratischer Gleichungen, d.h. man hat etwa zu lösen: $\begin{eqnarray*} x^2=4 \end{eqnarray*}$ . Hier kann man nun feststellen, dass sowohl $\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x_2=-2 \end{eqnarray*}$ eine Lösung dieser Gleichung ist, also ist die Lösungsmenge dieser Gleichung gegeben durch $\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{-2,2\} \end{eqnarray*}$ .

Warum definiert man nun die Wurzel als eindeutige positive Zahl? Das man die positive Zahl nimmt ist zunächst einmal willkürlich, man könnte auch die eindeutige negative Zahl nehmen können, d.h. dann wäre $\begin{eqnarray*} \sqrt[*]{4}=-2 \end{eqnarray*}$ . Aber auch hier wäre die Wurzel immer noch eindeutig belegt und das hat seinen guten Grund: wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{4}=\pm 2 \end{eqnarray*}$ wäre, dann könnte man das alternativ auch schreiben als $\begin{eqnarray*} \sqrt{4}=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{4}=2 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} -2=\sqrt{4}=2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -2=2 \end{eqnarray*}$ . Diese Definition der Wurzel einer Zahl würde also zu (ziemlich gravierenden) Problemen führen.

27.11.2019, 18:43

Mois sein Oppa

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Aber das wirft die Frage auf, warum unser Freund die a-b-c-Formel
$\begin{eqnarray*} \frac{-b \pm \sqrt{(b)^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$
ist und nicht
$\begin{eqnarray*} \frac{-b + \sqrt{(b)^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$
ist? Wie oben bereits beschrieben, wird sie in der Physik verwendet. Wobei, zugegeben, kein Physiker bin. Soll heißen, ich habe keine Ahnung, ob das tatsächlich der mathematischen Theorie widerspricht.

27.11.2019, 18:47

Elvis

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Diese Formel wird benutzt, um die quadratische Gleichung zu lösen. Das ist genau das, was Iorek gesagt hat.

28.11.2019, 08:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mois sein Oppa
Wobei, zugegeben, kein Physiker bin. Soll heißen, ich habe keine Ahnung, ob das tatsächlich der mathematischen Theorie widerspricht.

Ob dann bei einem physikalischen Hintergrund nur eine Lösung in Frage kommt, sollte sich aus den jeweiligen Umständen ergeben. smile

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