Gleichheit von Monomidealen

27.11.2019, 21:30	Lyrics	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit von Monomidealen Satz: Sei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ein Monomideal und $\begin{eqnarray} f\in \mathbb F[x_1,...,x_n] \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} f\in I \end{eqnarray}$ genau dann wenn, $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \mathbb F- \end{eqnarray}$ Linearkombination von Monomen in $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ist. Beweis: $\begin{eqnarray} "\Rightarrow" \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \Rightarrow: \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} f=\sum_{i} h_i x^{\alpha(i)} \in I \end{eqnarray}$ . - Ausmultiplizieren von $\begin{eqnarray} h_ix^{\alpha(i)} \end{eqnarray}$ liefert Monome der Form $\begin{eqnarray} cx^{\gamma} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c\in \mathbb F \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^{\alpha(i)} \| x^\gamma \end{eqnarray}$ . Nach Teilbarkeitssatz ist $\begin{eqnarray} x^\gamma \end{eqnarray}$ ein Monom in $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ . -Damit können wir $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in der gewünschten Form schreiben. $\begin{eqnarray} f=\sum_{i}c_ix^{\gamma(i)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c_i \in \mathbb F \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x^{\gamma(i)}\in I \end{eqnarray}$ . Ich kann den Beweis an sich schon nachvollziehen, allerdings ist mir nicht bewusst, warum wir das ganze noch so zeigen müssen. Alleine beim Anfang habe ich doch schon $\begin{eqnarray} f=\sum_{i} h_i x^{\alpha(i)} \in I \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} x^{\alpha(i)} \in I \end{eqnarray}$ . Das dann auch $\begin{eqnarray} h_i x^{\alpha(i)} \in I \end{eqnarray}$ mit beliebigen $\begin{eqnarray} h_i \in \mathbb F \end{eqnarray}$ im Ideal ist, ist doch trivial.
27.11.2019, 21:55	Lyrics	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habe meinen Fehler erkannt. Es soll eine k-Linearkombination sein, also müssen die Terme auch in $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ liegen. Dann macht das alles wieder Sinn.

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