Cantor-Menge Disjunktheit

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28.11.2019, 08:55	Lea20	Auf diesen Beitrag antworten »
Cantor-Menge Disjunktheit Meine Frage: hallo, wir haben die Cantormenge C folgendermaßen rekursiv definiert: $\begin{eqnarray} U_{n+1}:=\{ \frac{x}{3}, \frac{x+2}{3} : x \in U_n \}, ~~~ U_1:=\{ \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \}, ~~~ C:=[0,1] \setminus \bigcup^{\infty}_{n=1} U_n \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Dazu versuche ich gerade einige Aussagen zu beweisen (z.B. Nullmenge) und im Prinzip habe ich die Beweise fast fertig. Damit meine Beweise jedoch lückenlos sind fehlt mir eben noch die Tatsache, dass die offenen Intervalle innerhalb der U_n paarweise disjunkt sind und dass die U_n untereinander paarweise disjunkt sind. Leider bekomme ich da gerade nichts hin, hat jemand hier vielleicht eine Idee dazu? Gruß Lea
28.11.2019, 12:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Definition der $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ ist sehr verdächtig. Kann man damit überhaupt arbeiten ?
28.11.2019, 13:34	Lea20	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort erstmal. Ich denke schon. Bis auf die Disjunktheit sind mir die übrigen Aussagen wie z. B die damit folgende Nullmengen Eigenschaft schlüssig. Was ist an der Definition verdächtigt?
28.11.2019, 13:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast da endliche Mengen statt Intervalle definiert, und so kommst du nie zur Cantormenge https://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Menge
28.11.2019, 14:30	Lea20	Auf diesen Beitrag antworten »
Also sowie ich es verstanden habe ist ja das U_1 als offenes intervall gegeben. Aus diesem wird jetzt rekursiv mit der Vorschrift U_n+1 U_2 bestimmt also somit die vereinigung 2 offener Intervalle usw. Nimmt man z. B den ersten Teil der Vorschrift mit x/3 so erhält man mit dem intervall (1/3,2/3) das offene Intervall (1/9,2/9).
28.11.2019, 14:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist besser, denn offene Intervalle schreibt man mit runden Klammern (.,.) und nicht mit geschweiften Klammern {.,.} Da in jedem Schritt mittlere Intervalle aus noch nicht entfernten Intervallen entfernt werden, müssen die entfernten Intervalle paarweise disjunkt sein.
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28.11.2019, 15:09	Lea20	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, sorry. Ich hatte gar nicht gemerkt, dass ich bei meinem U_1 am Anfang aus versehen geschweifte Klammern gesetzt habe. Also mir ist schon klar, dass es sich bei meinem U_1 um ein offenes Intervall handelt, damit habe ich auch meine anderen Beweise bereits geführt. Hat jemand nun vielleicht eine Idee wie es um die Disjunktheit steht? Grüße Lea
28.11.2019, 15:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Idee steht oben. Reicht das als Begründung? Eine bessere habe ich nicht. Eigentlich ist das nur das, was ich bei Wikipedia sehe.
28.11.2019, 15:44	Lea20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte deinen Edit erst gesehen nachdem ich bereits meinen Post abgeschickt habe. Also anschaulich ist mir die Geschichte mehr oder weniger klar. Ich habe bereits über Induktion ein par andere Eigenschaften wie z.B. Intervall-Länge gezeigt. Da wollte ich auch gleich die Disjunktheit in den Induktionsbeweis mit einbauen. Wobei ich mir gerade eben schwer tue ist im Induktionsschluss die Annahme, dass ein x im Durchschnitt zweier beliebiger Intervalle $\begin{eqnarray} (x,y),(m,k) \in U_{n+1} \end{eqnarray}$ liegt auf einen Widerspruch zu führen. Hierbei kann letztendlich ja ein Intervall (x,y) $\begin{eqnarray} \in U_{n+1} \end{eqnarray}$ die Form $\begin{eqnarray} (\frac{a}{3},\frac{b}{3}) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (\frac{a+2}{3}, \frac{b+2}{3}) \end{eqnarray}$ für (a,b) $\begin{eqnarray} \in U_n \end{eqnarray}$ haben. Ich habe mit einer Fallunterscheidung angefangen und insofern für die zwei beliebigen Intervalle aus $\begin{eqnarray} U_{n+1} \end{eqnarray}$ die Formen gleich sind klappt das auch.Ich komme jedoch bei dem Fall (x,y)= $\begin{eqnarray} (\frac{a}{3},\frac{b}{3}) \end{eqnarray}$ und (m,k)= $\begin{eqnarray} (\frac{c+2}{3}, \frac{d+2}{3}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (a,b), (c,d) \in U_n \end{eqnarray}$ nicht weiter. Hast du dazu vielleicht einen Ratschlag oder meinst du, dass man das was du geschrieben hast eher anders formalisieren sollte? Danke für deine Antworten soweit!
28.11.2019, 18:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich tue mich sehr schwer, mit deiner Definition zu arbeiten. Wie wäre es, wenn du eine explizite Formel für die Cantormenge benutzen (oder herleiten und benutzen) würdest ? Hier noch einmal der Link: https://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Menge

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