Erzeuger einer Summe von Idealen

28.11.2019, 16:34	Eyepods	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeuger einer Summe von Idealen Meine Frage: Hey Leute, brauche eure Hilfe. Es geht darum, einen Erzeuger der Summe von Idealen (3+24i)+(15) zu bestimmen. Meine Ideen: (a) ist Erzeuger eines Ideals I eines Rings R, wenn I=Ra. Ich nehme an, dass bei den Gaußschen Zahlen "Ra" bedeutet, dass jede Gaußsche Zahl r mit a multipliziert wird, wobei die Multiplikation diejenige von den komplexen Zahlen ist. Und (3+24i)+(15) ist jegliche Summe eines Elements aus (3+24i) mit einem Element aus (15).
03.12.2019, 06:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, daß sich alles im Ring $\begin{align} R = \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \end{align}$ abspielt. Gegeben sind die beiden Ideale $\begin{align} \mathfrak{a} = \left( 3 + 24 \operatorname{i} \right) \, , \ \ \mathfrak{b} = \left( 15 \right) \end{align}$ Die Summe $\begin{align} \mathfrak{a} + \mathfrak{b} \end{align}$ der Ideale wird vom größten gemeinsamen Teiler ihrer Erzeuger, also dem ggT von $\begin{align} 3 + 24 \operatorname{i} \end{align}$ und 15 erzeugt. Der ggT ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt. Da $\begin{align} R \end{align}$ euklidisch ist, kann der ggT mit dem Euklidischen Algorithmus gefunden werden. Wie die Division mit Rest funktioniert, kannst du in diesem Beitrag sehen. Du mußt dort $\begin{align} \sqrt{-2} \end{align}$ durch $\begin{align} \sqrt{-1} \end{align}$ ersetzen und die Formeln, zum Beispiel für die Norm, entsprechend anpassen. Ich habe modulo einer Einheit $\begin{align} \operatorname{ggT} \left( 3 + 24 \operatorname{i} \, , \, 15 \right) = 3 - 6 \operatorname{i} \end{align}$ bekommen.

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