Zahl in Irreduziblen zerlegen

28.11.2019, 16:56

TangofürZwei

Zahl in Irreduziblen zerlegen

Meine Frage:
Tach,

ich möchte die Zahl $\begin{eqnarray*} 21 \end{eqnarray*}$ in Irreduziblen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [i\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ zerlegen.

Meine Ideen:
Was ein irreduzibles Element $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist, weiß ich: Das ist eine Nichteinheit $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ , bei der bei jeder Darstellung $\begin{eqnarray*} q=ab \end{eqnarray*}$ zweier Faktoren mindestens einer der Faktoren eine Einheit ist. So ganz hilft mir das aber nicht weiter.

21 = 7*3

28.11.2019, 18:17

Leopold

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$\begin{align*} 3 = \left( 1 + \sqrt{-2} \right) \left( 1 - \sqrt{-2} \right) \end{align*}$

28.11.2019, 18:51

Elvis

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7=7 ist träge.

28.11.2019, 20:24

TangofürZwei

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THX schonmal.

Irgendwie erinnert mich das Ganze an Primfaktorzerlegung bei den ganzen Zahlen. Irreduziblen sind aber keine Primelemente.

Wie habt ihr das so schnell gesehen mit der $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ und der $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ ? Reine Erfahrung?

28.11.2019, 21:38

Elvis

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Wir kennen die quadratischen Zahlkörper und ihre Arithmetik. Das ist ein sehr interessantes Beispiel für abelsche Zahlkörper, und man studiert das und noch viel mehr in der Zahlentheorie.

29.11.2019, 08:13

Leopold

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Zitat:

Original von TangofürZwei
Wie habt ihr das so schnell gesehen mit der $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ und der $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ ? Reine Erfahrung?

In Ringen $\begin{align*} R = \mathbb{Z} \left[ \sqrt{d} \right] \end{align*}$ mit $\begin{align*} d \in \mathbb{Z} \end{align*}$ quadratfrei betrachtet man die Norm

$\begin{align*} N \left( a + b \sqrt{d} \right) = a^2 - b^2 d \, ; \ \ a,b \in \mathbb{Z} \end{align*}$

Das Interessante ist, daß $\begin{align*} N \end{align*}$ multiplikativ ist:

$\begin{align*} N(\alpha \beta) = N(\alpha) \cdot N(\beta) \, ; \ \ \alpha, \beta \in R \end{align*}$

Einheiten sind genau die $\begin{align*} \varepsilon \in R \end{align*}$ mit $\begin{align*} N(\varepsilon) = \pm 1 \end{align*}$ .

In unserem Fall ist $\begin{align*} d=-2 \end{align*}$ und $\begin{align*} N(7) = 49 \end{align*}$ . Gäbe es nun eine nichttriviale Zerlegung $\begin{align*} 7 = \alpha \beta \end{align*}$ , so müßten beide Faktoren die Norm 7 besitzen. In ganzen Zahlen läßt sich $\begin{align*} a^2 + 2b^2 = 7 \end{align*}$ aber offensichtlich nicht lösen.

Mit 3 sieht es etwas anders aus. Es ist $\begin{align*} N(3) = 9 \end{align*}$ , und in einer nichttrivialen Zerlegung $\begin{align*} 3 = \alpha \beta \end{align*}$ müßten die Faktoren die Norm 3 besitzen. $\begin{align*} a^2 + 2b^2 = 3 \end{align*}$ geht aber mit $\begin{align*} a = \pm 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} b = \pm 1 \end{align*}$ . Ein bißchen probiert, und eine passende Vorzeichenkombination war gefunden.

Also keine Zauberei.

29.11.2019, 09:34

TangofürZwei

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THX euch beiden! Gott

Ich hatte an die Norm gedacht, aber nicht daran, dass wir bereits gezeigt hatten, was die Einheiten sind Forum Kloppe

Ich finde diese Ringe und den Gaußschen Zahlenring auch ganz interessant. Vor allem kommt man leichter rein als in Polynomringe.

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