Ungleichung

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28.11.2019, 18:56	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Hallo liebe Community, ich möchte für positive reelle Zahlen x,y,z,w zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{x+z}{x+y} +\frac{y+w}{y+z} +\frac{z+x}{z+w}+\frac{w+y}{w+x} \geq 4 \end{eqnarray}$ . Die erste Idee war es, 24(+) Fälle zu untersuchen (Permutation von x,y,z,w): x=y=z=w, x=y=z<w usw. Da ich hier aber viel Schreibarbeit in Kauf nehme, und dabei auch viele verschiedene Nebensächlichkeiten beweisen muss (zum Beispiel dass x/y+y/x>=2 ist) wäre ich froh um einen Tipp von jemandem, wie das einfacher gehen könnte! Danke im Voraus LG
28.11.2019, 19:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was passiert, wenn man die Brüche addiert ?
28.11.2019, 19:17	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
leider nichts Gutes, zumindest wenn ich das auf die Form ...>=0 bringe. Kurz: es fällt nichts weg oder wird einfacher.
28.11.2019, 19:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
schade, sonst fällt mir auch nichts ein oder auf
28.11.2019, 20:02	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke trotzdem!
28.11.2019, 20:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung Ich habe auch keine Lösung, aber zwei Vorschläge. Mit $\begin{eqnarray} \frac{ x+z}{x+y} = 1 + \frac { z - y }{ x+y} \end{eqnarray}$ kann man die Ungleichung umschreiben zu $\begin{eqnarray} \frac { z-x}{x+y} + \frac { w - z} {y+z} + \frac{ x-w}{z+w} + \frac { y - x}{w+x} \geq 0 \end{eqnarray}$ . Damit muss man "nur" noch begründen, warum die linke Seite das richtige Vorzeichen hat. D.h. es genügt mit dem (positiven) Hauptnenner zu multiplizieren und hat da etwas bessere Chancen. Etwas strukturierter: Man sollte die Struktur der linken Seite nutzen. Definiert man die (periodische) Folge $\begin{eqnarray} a = (x,y,z,w,x,y,z,w, \ldots) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} a_1 =x, \; a_2 = y \end{eqnarray}$ usw kann man die Ungleichung umschreiben zu $\begin{eqnarray} \sum_{i = 1}^4 \frac { a_i + a_{i+2}}{a_i + a_{i+1}}\geq 4 \end{eqnarray}$ . Ab jetzt kann man vermuten es handelt sich um einen Spezialfall von $\begin{eqnarray} \sum_{i = 1}^n \frac { a_i + a_{i+2}}{a_i + a_{i+1}}\geq n \end{eqnarray}$ für positive Folgen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1 = a_{n+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_2 = a_{n+2} \end{eqnarray}$ . Hier erkennt man auch endlich etwas Struktur in den Termen. Es sind fast-Nachbarn gemittelt über die Summe der direkten Nachbarn. Oder wenn man es wie oben umschreibt eben $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \frac { a_{i+2} - a_{i+1}}{a_i + a_{i+1}} \geq 0 \end{eqnarray}$ . Ohne die Gewichtung wäre es eine klassische Teleskopsumme. Nun zerstört diese "schräge" Gewichtung wenigstens nicht die Ungleichung. Leider habe ich keine tieferen Erkenntnisse in diese Ungleichung.
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29.11.2019, 02:04	Dangalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist schon spät, daher in aller Kürze: Der erste und dritte Bruch im Ausgangsposting haben den gleichen Zähler $\begin{eqnarray} x+z \end{eqnarray}$ , zusammenfassen ergibt $\begin{eqnarray} \frac{(x+z)(w+x+y+z)}{(x+y)(w+z)} \end{eqnarray}$ Analog ist die Summe aus zweitem und viertem Bruch $\begin{eqnarray} \frac{(w+y)(w+x+y+z)}{(w+x)(y+z)} \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} 0 \le (u-v)^2 = (u+v)^2 - 4uv \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (u+v)^2 \ge 4uv \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ , und weiter für $\begin{eqnarray} u>0; v>0; s:=u+v>0 \end{eqnarray}$ die UG1 $\begin{eqnarray} \frac{s}{uv} \ge \frac{4}{s} \end{eqnarray}$ Setzt man $\begin{eqnarray} u=x+y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v=w+z \end{eqnarray}$ und multipliziert die UG1 mit $\begin{eqnarray} x+z \end{eqnarray}$ erhält man wegen $\begin{eqnarray} s=w+x+y+z \end{eqnarray}$ die UG2 $\begin{eqnarray} \frac{(x+z)(w+x+y+z)}{(x+y)(w+z)} \ge \frac{4(x+z)}{w+x+y+z} \end{eqnarray}$ Setzt man $\begin{eqnarray} u=w+x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v=y+z \end{eqnarray}$ und multipliziert die UG1 mit $\begin{eqnarray} w+y \end{eqnarray}$ erhält man wieder $\begin{eqnarray} s=w+x+y+z \end{eqnarray}$ und die UG3 $\begin{eqnarray} \frac{(w+y)(w+x+y+z)}{(w+x)(y+z)} \ge \frac{4(w+y)}{w+x+y+z} \end{eqnarray}$ UG2 und UG3 addieren, rechts zu 4 vereinfachen, fertig.
29.11.2019, 07:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Clevere Idee! Aus der sich zudem auch folgern lässt, wann genau Gleichheit in der Ungleichung gilt: Die erfordert nämlich $\begin{eqnarray} u=v \end{eqnarray}$ in beiden Gelegenheiten, wo die Hilfsungleichung zum Einsatz kam, d.h., es müssen $\begin{eqnarray} x+y=w+z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w+x=y+z \end{eqnarray}$ gelten, aufgelöst ergibt das $\begin{eqnarray} x=z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w=y \end{eqnarray}$ .
29.11.2019, 09:50	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Grandios! Noch eleganter gehts nicht. Vielen Dank für die Hilfe!

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