Aufgabe Lösen per Definition der Differenzierbarkeit (als lineare Approximation)

29.11.2019, 15:22	Bleistift58	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe Lösen per Definition der Differenzierbarkeit (als lineare Approximation) Meine Frage: Hallo Leute, ich stehe vor folgender Aufgabe für meine Hausaufgabe: Es seien B Element von R^(nxn) und die Abbildung f,g,h: R^(n) -> R $\begin{eqnarray} f(\vec{x})=\vec{x}^{T}\vec{x}=\|\|\vec{x}\|\|^2 g(\vec{x} )=\vec{x}^{T} B\vec{x} h(\vec{x} )=\|\|\vec{x} \|\| \end{eqnarray}$ gegeben, wobei wir $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ als Spaltenvektor verstehe. (a) Zeigen Sie mit der Definition der Differenzierbarkeit (als lineare Approximation), dass f und g in allen Punkten $\begin{eqnarray} \vec{x} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ differenzierbar sind, und bestimmten Sie die Ableitungen. (Hinweis: Sie können benutzten, dass $\begin{eqnarray} \|\vec{x}^{T}B\vec{x} \|\leq \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \|\|B\|\| \|\|\vec{x} \|\|^2 \|\|B\|\| < \infty \end{eqnarray}$ gilt ) (b) In welchen Punkten ist h differenzierbar? Bestimmten Sie die dazugehörige Ableitung. Meine Ideen: Mein Problem bei dieser Aufgabe: Ich habe bis jetzt nur Aufgaben gesehen, bei denen R^n = z.B. R^2 oder R^3 war. Dort wüsste ich, wie ich die euklidische Norm zu berechnen habe und vermutlich auch wie ich die Aufgabe zu lösen haben. Bei R^n fehlt mir aber vollständig der Ansatz für den ersten Schritt. Ich hoffe Ihr könnte mir weiterhelfen. Viele Grüße, Bleistift58
29.11.2019, 16:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe Lösen per Definition der Differenzierbarkeit (als lineare Approximation) Dann löse die Aufgabe für R^n = R^3 Schau dir dann an, was dabei wirklich von n=3 abhängt. Wenn du dein Ergebnis für R^n = R^3 hier postest, kann man dir dabei auch helfen.
30.11.2019, 23:56	Bleistift58	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe Lösen per Definition der Differenzierbarkeit (als lineare Approximation) Hallo URL, ich habe mich soeben an der Aufgabe versucht. Und finde leider nichteinmal einen Ansatz zum Starten - auch nicht im R^3. Jetzt kann ich zwar die Euklidische Norm berechen sqrt(x1^2+x2^2+x3^3), doch was bringt mich das weiter? Wenn ich jetzt für x, x+Deltax einsetzt wie im Tutorium, bringt mich das leider null weiter... Aus dem Tutorium habe ich nur mitgenommen, dass im ersten Schritt entweder die Ableitung gebildet werden muss oder aber eine Art Vergleich gemacht werden soll. Leider verstehe ich keinen von beiden Lösungsansätzen und habe keine Idee wo ich anfangen soll. Kannst Du mir vielleicht einen Denkanstoß geben? Viele Grüße, Bleistift58
01.12.2019, 00:12	Bleistift58	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe Lösen per Definition der Differenzierbarkeit (als lineare Approximation) Eine kleine Ergänzung: Ich weiß, dass f(x+Deltax)=f(x)+ADeltax+R(x+Deltax) gilt und (\|\|R(x+Deltax\|\|)/(\|\|Deltax\|\|)=0 sein muss. Der Fehler muss also schneller als linear gegen null laufen muss. Aber wie wende ich diese Zusammenhänge bei diesen Funktionen an? Viele Grüße Bleistift58
01.12.2019, 15:38	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe Lösen per Definition der Differenzierbarkeit (als lineare Approximation) Warum bringt dich das nicht weiter? Wo scheiterst du denn? Ich lass die Vektorpfeile weg, das ist mir zu mühsam, und Delta x heißt bei mir h. $\begin{eqnarray} f(x+h)-f(x)=(x+h)^T(x+h)-x^Tx=x^Tx+x^Th+h^Tx+h^Th-x^Tx=2x^T h+h^Th \end{eqnarray}$ . Kannst du jetzt die Ableitung f ablesen? Übrigens habe ich an keiner Stelle explizit benutzt, dass wir hier im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ sind. Es gehen nur Eigenschaften des Skalarproduktes ein.
01.12.2019, 23:08	Bleistift58	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe Lösen per Definition der Differenzierbarkeit (als lineare Approximation) Leider kann ich sie immer noch nicht ablesen...
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01.12.2019, 23:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe Lösen per Definition der Differenzierbarkeit (als lineare Approximation) Die Ableitung von f an der Stelle x muss eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sein. Die Abbildung $\begin{eqnarray} h\mapsto 2x^Th \end{eqnarray}$ ist eine solche. Dass $\begin{eqnarray} h^Th \end{eqnarray}$ die Bedingung für den Fehler erfüllt, sieht man leicht. Edit: Um es mal einfach zu machen: $\begin{eqnarray} f'(x)=2x^T \end{eqnarray}$

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