Zeigen: Ring ist euklidischer Ring

29.11.2019, 18:12

Asau

Zeigen: Ring ist euklidischer Ring

Meine Frage:
Hi,

ich kämpfe damit, zu zeigen, dass der Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt{-2}] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N\left(a+b\sqrt{-2}\right)=a^2+2b^2 \end{eqnarray*}$ euklidisch ist.

Ich muss doch $\begin{eqnarray*} \forall w,z\in \mathbb Z\left[\sqrt{-2}\right],\ w\neq 0, \end{eqnarray*}$ Elemente $\begin{eqnarray*} q,r \end{eqnarray*}$ finden, so dass

i) $\begin{eqnarray*} z=wq+r \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} N(r)<N(q) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe bereits gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} N(0)=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N(xy)=N(x)N(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb Z\left[\sqrt{-2}\right]^\times \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} N(x)=\pm 1 \end{eqnarray*}$ (ohne zu wissen, ob mir das was bringt).

Irgendwie geht das doch, in dem ich mir die komplexe Ebene und Abstände darin anschaue. Aber mir fehlt wirklich der Ansatz geschockt

29.11.2019, 18:29

Asau

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RE: Zeigen: Ring ist euklidischer Ring
Edit: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt{-2}] \end{eqnarray*}$ sind ja die Gitterpunkte eines Rechteckgitters mit Gitterbreite $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , Höhe $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und Diagonale $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Aber was bringt mir das? Ich muss doch irgendwie was mit der Norm machen und mit Division mit Rest verwirrt

29.11.2019, 19:02

Elvis

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Ich habe hier einen Beweis von Helmut Hasse, "Vorlesungen über Zahlentheorie", 1959, Vierter Abschnitt Quadratische Zahlkörper, § 16 Elementare Teilbarkeitslehre, 6. Quadratische Zahlkörper mit eindeutiger Primzahlzerlegung Seite 306-319. Trivial ist das nicht. Mit der Norm und dem Gitter bist du jedenfalls auf dem richtigen Weg.
Das Göttinger Digitalisierungszentrum ist zur Zeit nicht erreichbar, da müsste laut Wiki auch etwas zu finden sein: László Rédei: Zur Frage des Euklidischen Algorithmus in quadratischen Zahlkörpern. In: Mathematische Annalen. 118, 1942, S. 588–608.

29.11.2019, 21:02

Asau

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Danke. Über das Wochenende kann ich allerdings nicht in die Bibliothek, da ich nach Hause gefahren bin. Tanzen

Ich bin aber auch so ein kleines bisschen weitergekommen: Ich habe ja dieses Rechteckgitter. Das hat ja die Eigenschaft, dass jedes Element $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Q [\sqrt{-2}] \end{eqnarray*}$ oder gleich $\begin{eqnarray*} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ den Abstand $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ zu einem Gitterpunkt hat.

Da müsste man doch irgendwas machen können verwirrt

. Irgendwie sowas, dass man zwei feste, beliebige $\begin{eqnarray*} w,z\in \mathbb Z\left[\sqrt{-2}\right],\ w\neq 0 \end{eqnarray*}$ hat, dann packt man eine Division mit Rest irgendwie in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und erhält am Ende $\begin{eqnarray*} N(r)<N(q) \end{eqnarray*}$ verwirrt

29.11.2019, 22:20

Elvis

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Wenn ich morgen vormittag Zeit finde, schicke ich dir eine kurze Kopie von Hasse. Andernfalls bis spätestens 15.00 Uhr. Mehr kann ich nicht tun, weil ich heute mit dem Studium von drei dicken Büchern von und über Gottlob Frege sowie Logik und Philosophie der Mathematik durchgestartet bin. Die nächsten Wochen habe ich keine einzige Gehirnzelle für Zahlentheorie frei. Augenzwinkern

30.11.2019, 09:58

Asau

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Zitat:

Original von Elvis
Wenn ich morgen vormittag Zeit finde, schicke ich dir eine kurze Kopie von Hasse. Andernfalls bis spätestens 15.00 Uhr.

Danke

Zitat:

Original von Elvis
Mehr kann ich nicht tun, weil ich heute mit dem Studium von drei dicken Büchern von und über Gottlob Frege sowie Logik und Philosophie der Mathematik durchgestartet bin. Die nächsten Wochen habe ich keine einzige Gehirnzelle für Zahlentheorie frei. Augenzwinkern

Freiwillig oder gezwungenermaßen?

30.11.2019, 10:15

Elvis

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Nur des intellektuellen Vergnügens wegen. smile

Post ist gleich unterwegs ... klappt nicht, weil ich in persönlichen Nachrichten auch nur kleine Dateien anhängen darf. Schickst du mir als persönliche Nachricht deine e-mail Adresse bekommst du postwendend Helmut Hasse als pdf-Datei.

30.11.2019, 11:41

Leopold

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Hier für alle der Beweis, daß der Ring euklidisch ist.

$\begin{align*} R = \mathbb{Z} \left[ \sqrt{-2} \right] \subset \mathbb{Q} \left( \sqrt{-2} \right) \end{align*}$ , die Norm $\begin{align*} N \end{align*}$ kann kanonisch auf $\begin{align*} \mathbb{Q} \left( \sqrt{-2} \right) \end{align*}$ fortgesetzt werden.

Seien $\begin{align*} \alpha, \beta \in R \end{align*}$ mit $\begin{align*} \beta \neq 0 \end{align*}$ . Dann ist $\begin{align*} \frac{\alpha}{\beta} \in \mathbb{Q} \left( \sqrt{-2} \right) \end{align*}$ :

$\begin{align*} \frac{\alpha}{\beta} = u + v \sqrt{-2} \ \ \text{mit} \ u,v \in \mathbb{Q} \end{align*}$

Man wählt nun zwei zu $\begin{align*} u,v \end{align*}$ nächstgelegene $\begin{align*} a,b \in \mathbb{Z} \end{align*}$ . Es gilt somit

$\begin{align*} \left| u-a \right| \leq \frac{1}{2} \, , \ \ \left| v-b \right| \leq \frac{1}{2} \end{align*}$

Jetzt definiert man $\begin{align*} \gamma, \delta \in R \end{align*}$ durch

$\begin{align*} \gamma = a + b \sqrt{-2} \, , \ \delta = \alpha - \beta \gamma \end{align*}$

Für die Norm folgt:

$\begin{align*} N(\delta) = N \left( \alpha - \beta \gamma \right) = N \left( \beta \cdot \left( \frac{\alpha}{\beta} - \gamma \right) \right) = N(\beta) \cdot N \left( (u-a) + (v-b) \sqrt{-2} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} = N(\beta) \cdot \left( (u-a)^2 + 2(v-b)^2 \right) \leq N(\beta) \cdot \left( \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} \right) = N(\beta) \cdot \frac{3}{4} < N(\beta) \end{align*}$

Und man hat das Gewünschte:

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ \alpha = \beta \gamma + \delta \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ N(\delta) < N(\beta) \end{align*}$

nach I. Niven / H.S. Zuckerman, Einführung in die Zahlentheorie, BI Hochschultaschenbücher, Band 47, Mannheim 1976

30.11.2019, 12:06

jester.

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Danke Leopold, ich hätte genau diesen Beweis sonst auch mal hier platziert. Ein Umherschicken von PDFs zu diesem Thema scheint mir ein wenig überdimensioniert.

Erwähnenswert ist vielleicht noch, dass dasselbe Argument auch für $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] \end{eqnarray*}$ funktioniert, während es für $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt{-d}] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} d \geq 3 \end{eqnarray*}$ fehlschlägt, wie man in der Zeile

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} = N(\beta) \cdot \left( (u-a)^2 + 2(v-b)^2 \right) \leq N(\beta) \cdot \left( \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} \right) = N(\beta) \cdot \frac{3}{4} < N(\beta) \end{align*}$

gut sehen kann, indem man $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ durch die Variable $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ersetzt.

Tatsächlich scheitert es aber nicht nur am Argument - sondern $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \end{eqnarray*}$ ist in der Tat kein Euklidischer Ring (2 ist irreduzibel aber nicht prim).

30.11.2019, 12:50

Elvis

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Danke, dann ist das erledigt, und ich behalte das PDF für mich.

30.11.2019, 13:39

Asau

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BUMM! Der Beweis ist ja mega! Und super verständlich, ganz ohne Skizze. Danke dafür Leopold! Freude

@Elvis: Danke für deine Unterstützung. Ich hoffe, ich habe dir nicht zu viel Zeit geraubt! Wink

@jester.: Danke. Beim Googlen bin ich auch darauf gestoßen. Jedoch fand ich keinen der drei gefundenen Beweise auch nur halbwegs verständlich... Wieder einmal frage ich mich, warum es 100 Bücher zu einem Bereich wie Algebraischer Zahlentheorie gibt mit Stärken und Schwächen, statt einem perfekten Buch...

30.11.2019, 14:04

Elvis

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In einer Wissenschaft, in der noch geforscht wird, kann es kein perfektes Buch geben. Mathematik wäre langweilig, wenn wir alles wüssten. Wir sind froh, dass wir nicht alles wissen und nicht alles wissen können. bis in alle Ewigkeit wird uns Mathematik niemals langweilig werden. smile

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