Limes

30.11.2019, 03:03

Silva

Limes

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine Folge reeller Zahlen. Für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiert man

$\begin{eqnarray*} \lambda_{n} := sup \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} a_{k} | k \geq n \end{eqnarray*}$ }, $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} := lim_{n \to \infty} \lambda_{n} \end{eqnarray*}$

Verstehe ich das richtig, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_{n} \end{eqnarray*}$ eine Folge ist, die aus Suprema von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ? Ich verstehe einfach nicht so recht, was der Ausdruck $\begin{eqnarray*} sup \end{eqnarray*}$ {...} bedeutet. Der höchste Wert der Elemente der Menge {...} ?

Und überall wird angemerkt, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_{n} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist, aber wieso ist das so?

Meine Ideen:
Leider keine, könnt ihr mit bitte etwas unter die Arme greifen, mir helfen die Ausdrücke zu verstehen?

Was meint sup{...} ?

30.11.2019, 08:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Silva
Was meint sup{...} ?

Vorlesung geschwänzt? Das Supremum ist definiert als die kleinste obere Schranke dieser Menge bzw. als $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , falls es keine oberen Schranken gibt. Das ist nur dann gleich dem Maximum, falls das Maximum existiert.

Zitat:

Original von Silva
Und überall wird angemerkt, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_{n} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist, aber wieso ist das so?

Weil jede obere Schranke von $\begin{eqnarray*} A_n:=\left\{ a_k \mid k \geq n\right\} \end{eqnarray*}$ auch eine obere Schranke von $\begin{eqnarray*} A_{n+1}=\left\{ a_k \mid k \geq n+1\right\} \end{eqnarray*}$ ist, denn es ist $\begin{eqnarray*} A_n = \{a_n\} \cup A_{n+1} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} A_n\supseteq A_{n+1} \end{eqnarray*}$ , mithin ist jede obere Schranke von $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ auch eine von $\begin{eqnarray*} A_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Das trifft auch auf die kleinste zu, es ist demnach $\begin{eqnarray*} \lambda_n \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke von $\begin{eqnarray*} A_{n+1} \end{eqnarray*}$ , und damit ist $\begin{eqnarray*} \lambda_n\geq \lambda_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Silva
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} := lim_{n \to \infty} \lambda_{n} \end{eqnarray*}$

Nein, allgemein gilt nur $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to \infty} a_n := \lim_{n\to \infty} \lambda_n \end{eqnarray*}$ .

Das ganze ist nur dann gleich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ , wenn dieser Grenzwert auch wirklich existiert.

30.11.2019, 18:11

Silva

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Danke!!! Jetzt habe ich das Konzept verstanden! Kannst du bitte hier noch drüberschauen? Ich soll beweisen:

Wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ beschränkt, dann ist lim sup an reell.

Mein Beweis:

Sei an beschränkt. Dann kann an keine bestimmt divergente Teilfolge besitzen. Laut Bolzano-Weierstraß besitzt an mind. eine konvergente Teilfolge. Der Limes einer dieser Folgen muss gleich lim sup an (da das ja der größte HP ist). Folglich ist lim sup an reell.

Was meinst du?

01.12.2019, 00:30

Silva

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¿Hola? Bist du noch da? Ich brauche deine Hilfe traurig

03.12.2019, 15:14

HAL 9000

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Warum so kompliziert mit Bolzano-Weierstraß etc. ? Ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ beschränkt, dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n|\leq L \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , dann gilt offenbar auch $\begin{eqnarray*} |\lambda_n|\leq L \end{eqnarray*}$ , damit existiert auch der Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ dieser oben als monoton fallend nachgewiesenen, nunmehr auch beschränkten Folge $\begin{eqnarray*} (\lambda_n) \end{eqnarray*}$ , und auch für den gilt $\begin{eqnarray*} |a|\leq L \end{eqnarray*}$ . Und es ist nun mal definitionsgemäß $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} a_n = a \end{eqnarray*}$ .

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