Produktregel mittels Vollständiger Induktion

30.11.2019, 17:49

MaPalui

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Produktregel mittels Vollständiger Induktion

Hallo

smile

Ich soll mittels VI die Produktregel beweisen.
Wir haben definiert:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_nx^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x) = \sum\limits_{k=1}^{n}ka_kz^{k-1} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
Seien f,g Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} deg \leq n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f = \sum\limits_{k=0}^{n}a_kx^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}b_{k}x^k \end{eqnarray*}$

IA: $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$
Dann sind $\begin{eqnarray*} f(x) = a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = b_0 \end{eqnarray*}$
Also sind $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} (fg)' = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

IS: n->n+1
Seien f,g Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq n+1 \end{eqnarray*}$
Dann betrachte ich $\begin{eqnarray*} f_{n+1} = f_n + a_{n+1}z^{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = g_n + b_{n+1}x^{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Damit ist $\begin{eqnarray*} f(x)\cdot g(x) = f_ng_n + f_nb_{n+1}x^{n+1} + g_na_{n+1}x^{n+1} + a_{n+1}b_{n+1}x^{2n+2} \end{eqnarray*}$

Leider sehe ich gar keine Möglichkeit, die IV Einzusetzen verwirrt

verwirrt

30.11.2019, 21:09

klarsoweit

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RE: Produktregel mittels Vollständiger Induktion

Zitat:

Original von MaPalui
Wir haben definiert:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_nx^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x) = \sum\limits_{k=1}^{n}ka_kz^{k-1} \end{eqnarray*}$

Eher wohl dies: $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x) = \sum_{k=1}^n k a_k x^{k-1} \end{eqnarray*}$

Aber am besten postest du mal die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut.

01.12.2019, 10:21

MaPalui

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Ja. Da habe ich mich vertippt. Die Aufgabe ist:[attach]50121[/attach]

Wir sind noch nicht bei Differentialrechnung. Daher darf ich die Methode aus dieser nicht anwenden.

01.12.2019, 11:47

Elvis

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Die analytische Definition der Ableitung darfst du deshalb nicht anwenden weil es hier um die algebraische Definition der Ableitung geht. Das sind zwei völlig verschiedene Dinge. Die Aufgabe ist sauber gestellt, und man kann den Beweis durch vollständige Induktion führen. Dein erster Versuch geht am Thema vorbei und ist vollständig misslungen, weil du die Behauptung nicht angemessen berücksichtigst und bei der Induktion alles falsch machst.

01.12.2019, 13:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von MaPalui
Wir sind noch nicht bei Differentialrechnung. Daher darf ich die Methode aus dieser nicht anwenden.

Ok, dann musst du den Induktionsanfang entsprechend formulieren. Betrachte für n=0 die Funktion h(x) := f(x) * g(x) = a_0 * b_0 und bilde h'(x) .

01.12.2019, 15:20

MaPalui

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Hallo ihr beiden, danke für eure Zeit.

Ich hab den Induktionsanfang nun nochmal genauer aufgeschrieben.

Seien $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_kx^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}b_kx^k \end{eqnarray*}$ .

Sei nun n=0.
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) = a_0, g(x) = b_0 \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} f\cdot g = a_0b_0 = \sum\limits_{k=0}^{0}a_kb_kx^k \end{eqnarray*}$ .
Nun ist mit der algebraischen Defintion der Ableitung $\begin{eqnarray*} (fg)' = \sum\limits_{k=1}^{n}a_0b_0x^{k-1} \end{eqnarray*}$ und damit die leere Summe, also $\begin{eqnarray*} (fg)' = 0 \end{eqnarray*}$ .
Und es ist $\begin{eqnarray*} 0\cdot b_0 + a_0\cdot 0 = f'g+fg' \end{eqnarray*}$ .
Damit gilt die Behauptung für n=0.

Führen wir den Induktionsschritt...
(Nunja, hier würde ich mich nun aus dem Eingangspost wiederholen verwirrt

verwirrt

. Leider erscheint es mir noch nicht recht)

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01.12.2019, 18:11

Elvis

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Der Induktionsanfang ist jetzt inhaltlich richtig. Man könnte ihn wesentlich schöner aufschreiben, aber wenn es dir so gefällt, dann ist das auch in Ordnung. Die bestmöglich Form wäre hier m.E. eine Kette von Gleichungen (fg)'=A=B=C=D=E=f'g+fg'.
(Das schöne Aufschreiben schon bei leichten Beweisen fördert das Denken und das Verständnis und erleichtert somit das Führen komplizierterer Beweise.)
Dein Induktionsschritt war unbrauchbar, da musst du vollkommen neu ansetzen.

01.12.2019, 18:43

Elvis

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Tipp (nur falls gewünscht und nicht überfordernd) : B.L.van der Waerden hat in seiner Modernen Algebra I (achte Auflage, § 27) die formale Ableitung von Polynomen wie folgt definiert.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\Rightarrow f(x+h)=f(x)+h\cdot f_1(x)+h^2\cdot f_2(x)+...\equiv f(x)+h\cdot f_1(x)\mod h^2 \end{eqnarray*}$ , und der (eindeutig bestimmte !) Koeffizient $\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ der ersten Potenz von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ heißt die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und wird immer mit $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Damit beweist er elegant und schnell die Summen- und Produktregel und schließt daraus, dass $\begin{eqnarray*} f'(x)=\sum_{k=0}^n ka_kx^{k-1} \end{eqnarray*}$ gilt.
(Entspricht das nicht genau dem Vorgehen in der Analysis ? Dort hat das auch schon in der Schule gut so funktioniert.)

01.12.2019, 22:36

MaPalui

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Hi Elvis,

ich danke dir vielmals für deine Ratschläge. Leider muss ich sagen, dass mir der Anfang des Induktionsschrittes wirklich äußerst schwerfällt.
Ich betrachte doch nun Polynome vom Grad n+1 mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n+1}a_kx^k = \sum\limits_{k=0}^{n}a_kx^k + a_{n+1}x^{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \sum\limits_{k=0}^{n+1}b_kx^k = \sum\limits_{k=0}^{n}b_kx^k + b_{n+1}x^{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Nun bilde ich doch das Produkt dieser beiden?
Tut mir wirklich leid, ich bin hier vollkommen überfordert.

LG
Maren

02.12.2019, 07:04

Elvis

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Warum nicht wie in der modernen Algebra? Ist das zu einfach? Es muss auch direkt gehen, aber diese Indexschieberei scheint mir mühevoller zu sein.

02.12.2019, 14:53

MaPalui

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Ok danke

02.12.2019, 15:45

Elvis

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Klingt noch nicht überzeugt genug.
$\begin{eqnarray*} f(x+h)g(x+h)\equiv (f(x)+hf'(x))(g(x)+hg'(x))\equiv f(x)g(x)+h(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))\, mod\, h^2 \end{eqnarray*}$
Was sagst du nun ?

Wenn du auf VI bestehst darfst du diese benutzen, um zu beweisen, dass "beide Ableitungen" identisch sind.

02.12.2019, 16:58

zweiundvierzig

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Ähnlich funktionieren auch die Beweise der entsprechenden Sätze in der Synthetischen Differentialgeometrie.

04.12.2019, 22:33

MaPalui

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Zitat:

Original von Elvis
Klingt noch nicht überzeugt genug.
$\begin{eqnarray*} f(x+h)g(x+h)\equiv (f(x)+hf'(x))(g(x)+hg'(x))\equiv f(x)g(x)+h(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))\, mod\, h^2 \end{eqnarray*}$
Was sagst du nun ?

Wenn du auf VI bestehst darfst du diese benutzen, um zu beweisen, dass "beide Ableitungen" identisch sind.

Hi Elvis,

um ehrlich zu sein hat mich die vorherige Antwort enttäuscht. Es ging mir persönlich darum, dass auf die von mir eingeschlagene Weise zu zeigen. Ich brauche einfach Übung, ich bin eine blutige Anfängerin.
Es war sehr nett, dass du mir gesagt hast, das ich mit meinem Anfang nicht weiterkomme. Aber dann hatte ich es ja und du hast mir nicht mehr den Weg zu meiner Lösung gezeigt, sondern nur auf der für dich viel besseren Lösung bestanden.
Sicherlich ist der von dir gezeigte Ansatz besser und moderner. Aber das kann ich als mathematisch völlig unbegabte Person nicht entscheiden.
Verstehst du was ich meine?

05.12.2019, 08:12

Elvis

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Verstehe ich vollkommen, und ich habe dir einen anderen Weg gewiesen, weil ich als Profi den von dir als leichter eingeschätzten Weg nicht geschafft habe. Wenn du als Anfängerin mehr kannst als ich, dann steht es dir frei, das zu tun.
Warum machen Lehrer in der Schule, Professoren in Algebra und Professorinnen in Differentialgeometrie das, was ich vorschlug? Weil es einfacher und sinnvoller ist.
Beachte bitte auch, dass ich dir keine vollständige Lösung gegeben habe. Für dich bleibt noch genug zu tun, und vollständige Induktion musst du auf jeden Fall benutzen.
Übrigens ist die "moderne Algebra" nicht modern, sie wurde vor 100 Jahren von der (Emmy) Noether - Schule entwickelt und stellt seitdem weltweit die einzige sinnvolle Methode, Algebra zu betreiben.

05.12.2019, 13:36

klarsoweit

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RE: Produktregel mittels Vollständiger Induktion
Vielleicht kommt man an das Thema besser ran, wenn man so vorgeht:

Seien $\begin{eqnarray*} f_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_m(x) = \sum_{k=0}^m b_k x^k \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt für alle n, m aus N: $\begin{eqnarray*} (f_n \cdot g_m)'(x) = f_n'(x) \cdot g_m(x) + f_n(x) \cdot g_m'(x) \end{eqnarray*}$

Wählt man nun m beliebig, aber fest, dann kann man mit überschaubaren Aufwand eine Induktion über n machen. smile

smile

05.12.2019, 14:17

Elvis

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Ja, das ist eine beliebte Alternative. War mir gerade nicht eingefallen. Danke.

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