Beweis inverses Element bei Bruchzahl

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arndtarndt5555 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis inverses Element bei Bruchzahl
Meine Frage:
Hallo, es soll mittels Beweis aufgezeigt werden, dass zu jeder Bruchzahl (ungleich 0) ein inverses Element bezüglich der Multiplikation (a/b * b/a =1) existiert, nämlich der "Kehrwert".

Meine Ideen:
Meine Ausarbeitung es ist so, dass ich dies über die Umkehroperation, also über die Division gemacht habe, hier ist meine bisherige Ausarbeitung. Ich weiß aber nicht, ob diese so korrekt ist.
Es seien a, b, c, d ? ?. Wenn bei einer Multiplikation gilt: a/b*c/d= a*c/b*d, also Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Dann kann man die Division als Umkehroperation der Multiplikation heranziehen a*c/b*d:c/d= a*c/b*d*d/c = . Um die Division korrekt umzukehren, muss man beim Divisor den Kehrwert bilden, zudem beinhaltet die Inversion eine Multiplikation mit dem Quotienten. a*c/b*d*d/c= a/b. Dadurch erhält man den Dividenden und die Umkehroperation ist damit fertig.

Dann folgt:
bei dem Sonderfall, dass Zähler und Zähler und Nenner und Nenner bei zwei Brüchen gleich sind, wobei a, b ? ?, dass die Division
a/b:a/b = a/b*b/a als Umkehroperation angesehen werden kann.
a/b*b/a= a*b/a*b.Zähler und Zähler sowie Nenner und Nenner kann man dann miteinander multiplizieren.
a*b/a*b=1*1/1*1 Da im Zähler und Nenner jeweils einmal ein a und einmal ein b steht, kann man diese kürzen.
1*1/1*1= 1. Dadurch erhält man jeweils im Zähler und Nenner zweimal eine 1, die mit sich selbst malgenommen das Ergebnis 1 liefert.
Also ist auch ab:ab von der Form her ab:ab =nm:nm mit n, m ? ? immer gleich 1.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht solltest du erst mal sagen, wie denn der Bruch a/b definiert ist.
 
 
arndtarndt5555 Auf diesen Beitrag antworten »
Inverses Element Bruch
Hallo,

danke. Das wurde bei der Kopie nicht übernommen. Ich habe hier die Menge der natürlich Zahlen angegeben, ohne die Null. Das ist ausreichend. Das weiß ich definitiv.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Beweis kann man benutzen, wie zwei Brüche mit einander multipliziert werden, dass in natürlichen Zahlen das Kommutativgesetz gilt und dass man Brüche kürzen kann. Warum weißt du definitiv, dass Brüche nur aus natürlichen Zahlen zusammengesetzt sind ? Ist nicht auch ein Bruch ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis: ich verstehe die Aufgabe durchaus etwas anders. Meines Erachtens sind wir im Körper der rationalen Zahlen unterwegs. Und Dreh- und Angelpunkt ist die Frage, wie nun ein Bruch a/b und wie die Multiplikation definiert sind.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kann sein, dass ich da etwas falsch verstanden habe, sonst wäre das ja auch zu einfach. Ich bin gespannt, wie es weiter geht und halte erst mal die Klappe. Augenzwinkern
arndtarndt5555 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt. Das ist auch ein Bruch. Aber im Moment sind wir noch im Bereich der Bruchzahlen und noch nicht im Bereich der rationalen Zahlen. Wie meinste das eigentlich mit dem Kommutativgesetz und dem Erweitern? Kannst du hierfür vielleicht ein Beispiel machen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal: ohne Antworten auf meine Fragen wird es keine fundierten Antworten geben:
Wie ist die Bruchzahl definiert?
In welchem Körper befinden wir uns?
Wie ist dort die Multiplikation definiert?

Schreibe uns wenigstens mal die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut.
arndtarndt5555 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.

Hier die Aufgabenstellung im Wortlaut: Zeigen Sie auf Begründungsniveau 3 (Beweis mit Variablennutzung, Amerk.: ich): Zu jeder Bruchzahl ungleich null existiert ein inverses Element bezüglich der Multiplikation (a/b * b/a = 1), nämlich der "Kehrwert". (Begründen Sie jeden Schritt).

Das ist alles.
arndtarndt5555 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich das nicht auch einfach über die Definition eines Bruchs machen? Dass man zu jedem Bruch a7b einen Bruch b/a bilden kann, indem ich Zähler und Nenner nur "umkehre". Dadurch erhält man ja einen neuen Bruch!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist eine Bruchzahl ? Was ist ungleich ? Was ist ein inverses Element ? Was ist ein Kehrwert ? Wie ist ein Bruch definiert ? Was ist ein Zähler ? Was ist ein Nenner ? Was ist Umkehren ? Was ist Multiplizieren ? Was ist = ? Was ist 1 ?

Wo sind deine Voraussetzungen ? Wo ist deine Rechenfähigkeit ? Welche Operationen darfst du benutzen ? Welche Rechenregeln darfst du benutzen ? Welche logischen Schlüsse darfst du benutzen ? Welche Schlußfolgerungen kannst du ziehen ?

Es ist alles sehr vage und undeutlich. Was soll man dazu sagen ? (1879 hat Gottlob Frege das alles viel besser formuliert.)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage hier ist nicht zu beantworten ohne Kenntnis des Aufbaus der Vorlesung. Da die Existenz multiplikativer Inverser nachgewiesen werden soll, ist offenbar das Rechnen in gerade nicht vorausgesetzt, sondern soll vielmehr begründet werden. Alles steht und fällt daher damit, wie eine rationale Zahl oder ein Bruch definiert ist. Vielleicht ist ein Bruch das Zeichen für eine Äquivalenzklasse aus Paaren ganzer Zahlen mit , wobei genau dann gilt, wenn . Vielleicht. Vielleicht aber auch nicht. Also bitte die Karten auf den Tisch. Sonst geht hier gar nichts.
arndtarndt5555 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, nur das Rechnen in B ist erlaubt. Das in Q noch nicht.
Scotty1701D Auf diesen Beitrag antworten »

Das hilft hier immer noch keinem weiter, da du uns immer noch nicht gesagt hast, was ein Bruch
überhaupt ist, das heißt wie definiert ist. Daher kann hier niemand etwas mit
"nur das Rechnen in ist erlaubt" anfangen,
und jeder Erklärungsversuch ist Lesen im Kaffeesatz.
arndtarndt5555 Auf diesen Beitrag antworten »
Inverses Element Bruch
Ein Bruch m/n
ist durch Angabe von Zähler und Nenner eindeutig
gekennzeichnet, somit durch das geordnete Zahlenpaar (m,n) mit
m,n ∈ N.

B := {[m,n]|m,n ∈ N}

Eine Bruchzahl ist also die Aquivalenzklasse [ ¨ m,n] aller zum Zahlenpaar
(m,n) ¨aquivalenten Paare.
Ein Bruch ist ein Repr¨asentant dieser Aquivalenzklasse

Das ist das, was ich so habe!
Scotty1701D Auf diesen Beitrag antworten »

Benutze bitte den Formeleditor und die Vorschaufunktion, so kann man leider nichts erkennen.
Ein erster Blick lässt mich vermuten, dass hier noch die Äquivalenzrelation fehlt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Äquivalenzrelation, die hier sinnvoll zur Anwendung kommen kann, hat Leopold schon angegeben. Wir haben also Brüche aus natürlichen Zahlen, wobei der Nenner nicht 0 sein darf. Wir haben eine Äquivalenzrelation und die Klassen der Äquivalenzrelation. Es ist nur noch zu beweisen, dass zu jeder von der Nullklasse verschiedenen Klasse genau eine inverse Klasse existiert.
arndtarndt5555 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt. Das ist der Status quo.
Scotty1701D Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja, richtig. (Leider wurde das vom Themenersteller nicht bestätigt, ist aber die sinnvollste)

Da die Existenz trivial ist, bleibt nur noch die Eindeutigkeit zu zeigen.

Inzwischen verstehe ich auch langsam, was im OP gefragt war:
Über die Umkehroperation, d.h. die Division lässt sich das Problem nicht lösen, denn diese ist
noch gar nicht definiert. Sie bekommt erst mit dem Nachweis des Inversen einen Sinn, sodass
der gewählte Ansatz mMn auf einen Zirkelschluss hinausläuft.
arndtarndt5555 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, kann ich das dann nicht über die Definition von zwei Brüchen machen? Der eine Bruch ist a/b und der andere b/a.

Irgendwie funktioniert bei mir nicht die Latex-Einbindung. Ich hätte ansonsten schon mal den Formeleditor benutzt. Irgendetwas mache ich da falsch. Sorry.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das nicht über die Brüche machen, weil du beweisen sollst, dass die Äquivalenzklassen invertierbar sind. ist nur in der Schule so. Hier musst du es auf die Äquivalenzrelation zurückführen. Und du musst beweisen, dass die Klasse von eindeutig bestimmt ist.
arndtarndt5555 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Ich habe mich da auch nicht wirklich gut ausgedrückt. aber ich verstehe jetzt wie das gemeint ist!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Letztlich muss man nur darauf achten, dass z.B. , obwohl hier kein Kehrwert auftaucht.
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