Beweis zu Zusammenhängen von Grenzwerten konvergenter Folgen

01.12.2019, 14:55	nellyy!	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu Zusammenhängen von Grenzwerten konvergenter Folgen Hallo, mir fehlt der Ansatz für diese Übungsaufgabe aus einer Analysis Übung: $\begin{eqnarray} <br /> Seien \left[z_{n} \right]_{n=1}^{\infty } bzw \left[a_{n} \right]_{n=1}^{\infty } Folgen \,in\, \mathbb C \, bzw. \left(0,\infty \right) und \, mögen \, die \, Grenzwerte \, \gamma = \lim_{n \to \infty } (z_{n+1}-z_{n}) \in \mathbb C \, und \, q= \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } \in [0,\infty ] existieren. Zeigen \, Sie, dass \frac{z_{n} }{n} \Rightarrow \gamma \, und \, \sqrt[n]{a_{n} } \Rightarrow \, q \, wenn \, n \Rightarrow \infty <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Ich hoffe ihr könnt mir helfen, liebe Grüße !
01.12.2019, 20:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu Zusammenhängen von Grenzwerten konvergenter Folgen Man kann $\begin{eqnarray} z_n = z_1 + \sum_{k=2}^n (z_k - z_{k-1}) \end{eqnarray}$ schreiben. Zusammen mit $\begin{eqnarray} w_k \to w \implies \frac 1 n \sum_{k=1}^n w_k \to w \end{eqnarray}$ liefert die Aussage. Die andere Aussage kann analog bewiesen werden. Alternativ folgt diese mit der ersten Aussage.
02.12.2019, 13:31	nellyy!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu Zusammenhängen von Grenzwerten konvergenter Folgen Den Zusammenhang $\begin{eqnarray} w_{k} -> w \Rightarrow \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} w_{k} ->w \end{eqnarray}$ kenne ich leider nicht...wie würde dafür ein Beweis aussehen? Ich denke aber ich verstehe worauf man am Ende hinaus will... Gibt es vielleicht noch eine andere Möglichkeit die Aussage zu zeigen? lieben Dank!
02.12.2019, 20:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis dieser Aussage ist elementar und kann per Definition gezeigt werden (Epsilon Delta). Ich denke es gibt keinen Weg, der weniger komplexe Aussage nutzt.
02.12.2019, 20:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Beweis dieses Cauchyschen Grenzwertsatz... Die zweite Teilaufgabe folgt aus der ersten mit $\begin{eqnarray} z_n=\ln(a_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma=\ln(q) \end{eqnarray}$ . Außer im Fall $\begin{eqnarray} q=0 \end{eqnarray}$ , für den muss man noch eine Zusatzbetrachtung anstellen.

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