Konvergenz Reihe zeigen /Quotientenkriterium

01.12.2019, 15:27

Fruitdealer

Konvergenz Reihe zeigen /Quotientenkriterium

Meine Frage:
Hallo ich habe folgende Reihe gegeben und soll Kovnvergenz/Divergenz zeigen:

Meine Ideen:
Hallo ich soll Konvergenz/Divergenz folgender Reihe zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{3^{n} }{3*n!} \end{eqnarray*}$

Nach Anwendung des Quotientenkriteriums und Kürzen der Fakultäten komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} =\frac{3^{n+1} *3 }{(3n+3)*3^{n} } \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht genau wie ich weiter vorgehen soll.

01.12.2019, 15:35

Iorek

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Ich nehme mal an, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der eigentliche Laufindex der Reihe sein soll.

Potenzgesetze anwenden, dann kürzt sich noch einiges mehr weg. Ansonsten ohne Quotientenkriterium:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{3\cdot n!}=\frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!} \end{eqnarray*}$

und hierbei sollte man nun eine bekannte Reihe erkennen können.

01.12.2019, 22:06

Ulrich Ruhnau

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RE: Konvergenz Reihe zeigen /Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Fruitdealer
Meine Frage:
Hallo ich habe folgende Reihe gegeben und soll Kovnvergenz/Divergenz zeigen:

Meine Ideen:
Hallo ich soll Konvergenz/Divergenz folgender Reihe zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{3^{n} }{3*n!} \end{eqnarray*}$

Nach Anwendung des Quotientenkriteriums und Kürzen der Fakultäten komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} =\frac{3^{n+1} *3 }{(3n+3)*3^{n} } \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis von Fruitdealer beruht nicht auf Rechnung, sondern vielmehr blühender Phantasie und schlichtem Wunschdenken. Damit das Ganze auf einer Rechnung basiert, schlage ich vor, mit dem Quotientenkriterium anzufangen.

Eine Reihe mit Gliedern $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn wir ein passendes $\begin{eqnarray*} q\in(0,1) \end{eqnarray*}$ finden können wo gilt:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<q<1 \end{eqnarray*}$

Wir untersuchen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{3^{n} }{3*n!} =\frac{1}{3} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{3^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$ dabei ist $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$
Nun sollte Fruitdealer $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ berechnen und schauen, ob er eine passende Schranke $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ findet oder sein Mathe-Studium lieber aufgeben.

01.12.2019, 22:47

Iorek

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RE: Konvergenz Reihe zeigen /Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Nun sollte Fruitdealer $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ berechnen und schauen, ob er eine passende Schranke $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ findet oder sein Mathe-Studium lieber aufgeben.

Abgesehen von dem weiteren Faktor $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ , welcher fälschlicherweise im Zähler auftaucht, ist da durchaus das Quotientenkriterium angewendet worden. Anscheinend ist die blühende Phantasie bei jemand anderem hier zu suchen. Ebenso ist es wohl nicht notwendig zu erwähnen, dass die von Ulrich Ruhnau vorgeschlagene Vereinfachung des Ausdrucks zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!} \end{eqnarray*}$ ebenfalls in einer bereits vorhandenen Hilfestellung vorhanden ist. Auf das von Ulrich Ruhnah vorgeschlagene Finden einer Schranke sei noch zu entgegnen, dass man in Übungsaufgaben dieser Art üblicherweise die Grenzwertbildung für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ vorzieht, da man sich so einer ansonsten zu begründenen Abschätzung entledigen kann. Vielleicht sollte Ulrich Ruhnau mal ins Boardprinzip gucken und lesen sowie verstehen was da steht, bevor er weiterhin in bereits betreute Threads hineinplatzt.

02.12.2019, 00:27

Ulrich Ruhnau

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RE: Konvergenz Reihe zeigen /Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Iorek
Abgesehen von dem weiteren Faktor $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ , welcher fälschlicherweise im Zähler auftaucht, ist da durchaus das Quotientenkriterium angewendet worden.

Hier habe ich die Bearbeitung eines Quotientenkriteriums nicht erkennen können, denn ein Term ist keine Gleichung und kein erkennbarer Rechenweg. Außerdem war bei dem Bruch so gut wie nichts gekürzt. Fast jeder Oberschüler macht das besser. Was soll man denn dazu sagen?

Zitat:

Anscheinend ist die blühende Phantasie bei jemand anderem hier zu suchen.

Müssen wir uns so anpfeifen? Ich wollte doch nur helfen.

Zitat:

Ebenso ist es wohl nicht notwendig zu erwähnen, dass die von Ulrich Ruhnau vorgeschlagene Vereinfachung des Ausdrucks zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!} \end{eqnarray*}$ ebenfalls in einer bereits vorhandenen Hilfestellung vorhanden ist.

Gibt es neuerdings ein Copyright auf Lösungsvorschläge? Hier wollte ich nur auf einen bereits gemachten Vorschlag zurückgreifen, damit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ übersichtlicher definiert wird.

Zitat:

Auf das von Ulrich Ruhnah vorgeschlagene Finden einer Schranke sei noch zu entgegnen, dass man in Übungsaufgaben dieser Art üblicherweise die Grenzwertbildung für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ vorzieht, da man sich so einer ansonsten zu begründenen Abschätzung entledigen kann.

Verstehe ich nicht. Auch ich will dazu lernen. Soll das heißen, daß wir keine Abschätzung mehr brauchen, wenn wir nicht $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gehen lassen?

Zitat:

Vielleicht sollte Ulrich Ruhnau mal ins Boardprinzip gucken und lesen sowie verstehen was da steht, bevor er weiterhin in bereits betreute Threads hineinplatzt.

Wir sind hier im Bereich Hochschulmathematik und nicht im Bereich Schule. Da war es bislang bewährt, wenn viele Helfer nach guten Lösungen suchen. Wenn ich Hilfe benötige, dann freue ich mich über viele gute Helfer. Ich würde es vorziehen, mehr die Bedürfnisse des Hilfesuchenden und weniger die der Helfer im Vordergrund zu sehen.

02.12.2019, 08:45

klarsoweit

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RE: Konvergenz Reihe zeigen /Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Iorek
Abgesehen von dem weiteren Faktor $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ , welcher fälschlicherweise im Zähler auftaucht

Der Faktor taucht dort auf, weil er eben dort hingehört. Allerdings hätte Fruitdealer bei der Anwendung des Quotientenkriteriums mehr Transparenz zeigen können:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} \cdot 3n!}{3(n+1)! \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1} \cdot 3}{3(n+1) \cdot 3^n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Auch ich will dazu lernen. Soll das heißen, daß wir keine Abschätzung mehr brauchen, wenn wir nicht $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gehen lassen?

Korrekt muß es heißen: Man braucht keine Abschätzung, wenn man von $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ bildet und dieser kleiner als 1 ist. smile

02.12.2019, 09:11

Iorek

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RE: Konvergenz Reihe zeigen /Quotientenkriterium

Zitat:

Original von klarsoweit
Der Faktor taucht dort auf, weil er eben dort hingehört. Allerdings hätte Fruitdealer bei der Anwendung des Quotientenkriteriums mehr Transparenz zeigen können:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} \cdot 3n!}{3(n+1)! \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1} \cdot 3}{3(n+1) \cdot 3^n} \end{eqnarray*}$

Ups, in der Tat, da hatte ich wohl voreillig bei mir schon zusammengefasst bzw. gekürzt und dann nicht weiter über die 3 nachgedacht. Hammer

02.12.2019, 15:33

Ulrich Ruhnau

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RE: Konvergenz Reihe zeigen /Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Fruitdealer
Meine Frage:
Nach Anwendung des Quotientenkriteriums und Kürzen der Fakultäten komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} =\frac{3^{n+1} *3 }{(3n+3)*3^{n} } \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht genau wie ich weiter vorgehen soll.

Ist jetzt mit $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{n+1} \end{eqnarray*}$ alles erledigt? Oder müßte man $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{n+1}\le\frac{3}{4}<1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\ge 3 \end{eqnarray*}$ anfügen?

Jetzt kapiere ich das erst mit dem Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1}=0 \end{eqnarray*}$ und fertig!

02.12.2019, 15:47

klarsoweit

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RE: Konvergenz Reihe zeigen /Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Oder müßte man $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{n+1}\le\frac{3}{4}<1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\ge 3 \end{eqnarray*}$ anfügen?

Dieses ist durchaus wichtig, sonst fehlt der Nachweis einer wesentlichen Voraussetzung beim Quotientenkriterium. smile

Oder man nimmt den Grenzwert.

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